ثلاث طرق منهجية لاستردّ المتسلسلة الزمنية من تمثيلها في نطاق Z: الكسور الجزئية، والقسمة الطويلة، وتكامل المنحنى المغلق.
التصميم يتم في نطاق Z. التنفيذ يجري في النطاق الزمني. التحويل العكسي هو الجسر — يستردّ h[n] من مواصفات الأقطاب والأصفار أو يحلّ معادلات الفروق.
فكّك X(z)/z إلى حدود من الدرجة الأولى. كل بقية A_k = (z − p_k)X(z)/z عند z = p_k. منطقة التقارب تُحدّد سببية كل حدة.
القطب ذاته يُعطي متسلسلات مختلفة بحسب منطقة التقارب المختارة.
اقسم البسط على المقام بتصاعد قوى z⁻¹. كل معامل في الحصيلة هو عيّنة زمنية مباشرة: معامل z⁻ⁿ يساوي x[n].
التعريف الرسمي: x[n] = (1/2πj) ∮ X(z) zn−1 dz. بنظرية البواقي، يساوي مجموع بواقي X(z)zn−1 عند الأقطاب داخل المنحنى C — مطابق لنتيجة الكسور الجزئية.
H(z) = z²/(z² − 0.9z + 0.81) له أقطاب عند 0.9e±jπ/3. الاستجابة النبضية موجة جيبية خامدة: h[n] = (0.9)ncos(nπ/3) u[n].
- منطقة التقارب ضرورية — الصيغة ذاتها لـ X(z) تُعطي x[n] مختلفة
- الكسور الجزئية: فكّك إلى حدود أولى واقرأ من الجدول
- القسمة الطويلة: معاملات متسلسلة القوى = عيّنات زمنية مباشرة
- تكامل المنحنى: التعريف الرسمي = مجموع البواقي = الكسور الجزئية
- أقطاب مترافقة عند (r, ±θ) ← rⁿcos(nθ + φ)u[n]
- |z| > |p| ← سببي؛ |z| < |p| ← غير سببي