قسّم DFT ذا N نقطة إلى DFT-ين من N/2 نقطة، كرّر بشكل تكراري، وخفّض عمليات الضرب المركّب من N² إلى (N/2)·log₂N — تسريع يصل إلى 100,000× للإشارات الكبيرة.
فصل عينات الدخل إلى ذات الفهارس الزوجية (x[0], x[2], x[4], …) والفردية (x[1], x[3], x[5], …). كل مجموعة تشكّل DFT من N/2 نقطة. الدمج يتم عبر معاملات التلوين.
ضرب مركّب واحد (معامل التلوين W_N^k)، جمعان، وخرجان. لأن W^{k+N/2} = −W^k، نحصل على X[k] وX[k+N/2] معاً بضرب واحد فقط — هنا يكمن سر الكفاءة.
استمر في التنصيف: N → N/2 → N/4 → … → 2. في القاع، DFT ذو نقطتين مجرد فراشة واحدة بـ W = 1. شجرة التكرار لها log₂ N مستوى، كل منها يحتاج N/2 فراشة.
التسريع يتنامى مع N — مما يجعل FFT متفوقاً بصورة متزايدة للتحويلات الكبيرة التي تتطلبها التطبيقات الحديثة.
يُعيد التقسيم الزوجي-الفردي المتكرر ترتيب العينات بـعكس فهرسها الثنائي. بعد التبديل، تعمل مراحل الفراشة log₂ N في الموقع — دون الحاجة لذاكرة إضافية سوى المصفوفة الأصلية.
- الراديكس-2 الزمني: تقسيم إلى نصفين؛ (N/2)log₂N ضرباً — الأبسط
- الراديكس-2 الترددي: تقسيم الخرج؛ نفس العدد، ترتيب معكوس البت
- الراديكس-4: تقسيم رباعي — 25% ضربات أقل
- الراديكس المقسّم: راديكس-2 للزوجي وراديكس-4 للفردي — أدنى حد نظري
- FFTW / Intel IPP: تختار أمثل خوارزمية للأجهزة تلقائياً
- كلها في جوهرها كولي-توكي — فرّق، لوّن، ادمج
- تقسيم N-نقطة إلى نصفين زوجي/فردي — DFT-ان من N/2 نقطة
- الفراشة: ضرب 1 + جمعان → خرجان (W^{k+N/2} = −W^k)
- log₂ N مرحلة × N/2 فراشة = O(N log N) إجمالاً
- N = 1,024: 5,120 مقابل 1,048,576 ضرباً — 205× أسرع
- في الموقع عبر تبديل عكس البت — ذاكرة O(N)
- الراديكس المقسّم يُحقق أدنى عدد معروف من الضربات