الطريقة القياسية لتحويل النماذج التناظرية الأولية إلى مرشحات IIR رقمية — تُربط مستوى s كله بمستوى z دون أي تراكب ترددي.
يُعوّض التحويل الثنائي الخطي المتغيّر التناظري s بدالة نسبية في z. طبّق التعويض على H_a(s) وستحصل فوراً على H(z).
كل نقطة في مستوى s تُربط بنقطة واحدة فريدة في مستوى z، والعكس صحيح. التوافقات الثلاثة الرئيسية:
- النصف الأيسر (تناظري مستقر) ← داخل دائرة الوحدة (رقمي مستقر)
- المحور التخيلي jΩ → دائرة الوحدة |z| = 1 (الاستجابة الترددية)
- النصف الأيمن (غير مستقر) ← خارج دائرة الوحدة
ضغط ±∞ في ±π ليس مجانياً — يتشوّه محور التردد تشويهاً غير خطي. بالقرب من التيار المستمر يكون التحويل شبه خطي، لكن قرب نايكويست (ω→π) تُضغط الترددات التناظرية بشدة.
صمّم النموذج التناظري عند التردد المُحوَّل مسبقاً Ω_c. بعد التحويل الثنائي الخطي، يقع تردد القطع الرقمي بالضبط عند ω_c المستهدف.
فقط الترددات الحرجة لحواف النطاق تحتاج للتحويل المسبق. طابع الاستجابة داخل النطاق (المتموج أو الرتيب) يُحفظ.
- الخطوة 1: حدّد المرشح الرقمي — ω_p، ω_s، δ_p، δ_s
- الخطوة 2: حوّل حواف النطاق مسبقاً → Ω_p، Ω_s
- الخطوة 3: صمّم النموذج التناظري (باترورث / تشيبيشيف / إهليليجي) عند الترددات المُحوَّلة
- الخطوة 4: طبّق التعويض الثنائي الخطي للحصول على H(z)
أضف تحويل تردد قبل خطوة التحويل الثنائي الخطي لتصميم أي نوع من نموذج تمرير منخفض:
- LP → HP: عوّض s بـ Ω_c / s
- LP → BP: عوّض s بـ (s² + Ω_0²)/(B·s) — يضاعف الرتبة
- LP → BS: عوّض s بـ B·s/(s² + Ω_0²) — يضاعف الرتبة أيضاً
- كل ذلك يُعالَج تلقائياً بدوال butter/cheby1/ellip في MATLAB وSciPy
- التحويل الثنائي الخطي: s = (2/T)(z−1)/(z+1) — جبري، بلا تراكب
- النصف الأيسر ← داخل دائرة الوحدة — الاستقرار مضمون
- تشويه التردد: Ω = (2/T)·tan(ωT/2) يضغط ±∞ في ±π
- حوّل الترددات الحرجة مسبقاً ليقع تردد القطع الرقمي بالضبط
- يعمل مع جميع أنواع المرشحات بتحويلات LP→HP/BP/BS الإضافية
- التحويل الثنائي الخطي + النموذج التناظري = طريقة تصميم IIR القياسية