LA 101
M10 · L03
الوحدة 10: تطبيقات معالجة الإشارات

PCA وتقليل الأبعاد

للبيانات بنية خفية. تكشفها PCA بالتحليل الطيفي لمصفوفة التباين المشترك — مستخرجةً اتجاهات أقصى تباين، ومُضغِّطةً التمثيلات، ومُقلِّلةً الضوضاء في الإشارات عالية الأبعاد.

01 / 12
LA 101
M10 · L03
الإعداد

البيانات كسحابة في فضاء عالي الأبعاد

N ملاحظة، لكل منها d خاصية، تُشكِّل سحابة من N نقطة في ℝᵈ. البيانات الطبيعية متكررة للغاية — السحابة تقع بالقرب من فضاء جزئي منخفض الأبعاد. تجد PCA ذلك الفضاء الجزئي.

السؤال
ما أفضل فضاء جزئي خطي k-البعد لتمثيل البيانات — بتقليل خطأ إعادة البناء وتعظيم التباين المحفوظ؟
02 / 12
LA 101
M10 · L03
الخطوة 1: التوسيط ثم الحساب

مصفوفة التباين المشترك

اطرح متوسط كل خاصية للحصول على X̃. تُشفِّر مصفوفة التباين المشترك العينية جميع الترابطات الزوجية بين الخصائص:

التباين المشترك العيني
C=\tfrac{1}{N-1}\tilde{X}^T\tilde{X}

C متماثلة وشبه موجبة التحديد. القيم الكبيرة خارج القطر تعني التكرار — قابلية الضغط.

03 / 12
LA 101
M10 · L03
الخطوة 2: التحليل الطيفي

التحليل الطيفي

تضمن المبرهنة الطيفية قاعدة تعامدية معيارية كاملة:

التحليل الطيفي
C=Q\Lambda Q^T,\quad\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_d)

كل قيمة ذاتية λₖ = التباين على طول المتجه الذاتي qₖ. المتجهات الذاتية هي المحاور الرئيسية لقطع البيانات الإهليلجي.

04 / 12
LA 101
M10 · L03
الخطوة 3: الإسقاط

إسقاط PCA على k مركّبة

احتفظ بأعلى k متجه ذاتي. التمثيل منخفض الأبعاد هو:

درجات PCA
\mathbf{z}=Q_k^T\,\tilde{\mathbf{x}}\;\in\;\mathbb{R}^k

هذا هو المشفِّر الخطي الأمثل برتبة k — من بين جميع الإسقاطات الخطية على k أبعاد، هذا يُصغِّر خطأ إعادة البناء (مبرهنة إيكارت-يونغ).

05 / 12
LA 101
M10 · L03
كم مركّبة نحتاج؟

نسبة التباين المُفسَّر

نسبة التباين الكلي الملتقط بأعلى k مركّبات:

EVR
\mathrm{EVR}(k)=\frac{\sum_{j=1}^k\lambda_j}{\sum_{j=1}^d\lambda_j}

اختر k بحيث EVR(k) ≥ 0.95. للصور والكلام وبيانات الحساسات، 95% من التباين يناسب أحيانًا أقل من 5% من الأبعاد.

06 / 12
LA 101
M10 · L03
دليل بصري

مخطط الحصاة (Scree Plot)

ارسم القيم الذاتية بترتيب تنازلي. ابحث عن "المرفق" — النقطة التي ينحني فيها المنحنى من منحدر حاد إلى مسطح. يكشف المرفق البُعد الجوهري للبيانات.

  • قبل المرفق: مركّبات الإشارة — قيم ذاتية كبيرة ومتباينة
  • بعد المرفق: مستوى الضوضاء — قيم ذاتية صغيرة وشبه ثابتة
  • لا مرفق: البيانات عالية الأبعاد فعلًا أو سيئة البنية
  • مرافق متعددة: بنية هرمية بمقاييس مختلفة
07 / 12
LA 101
M10 · L03
التطبيقات

الضغط والتصوير

تدعم PCA تطبيقين فوريين: الضغط (الاحتفاظ بـ k ≪ d معامل لكل عينة) والتصوير (الإسقاط على ثنائي أو ثلاثي الأبعاد لرؤية بنية التجمعات).

k=50
من 784 بكسل
95%
تباين محفوظ
16×
نسبة ضغط
08 / 12
LA 101
M10 · L03
معالجة الإشارات

تقليل الضوضاء عبر إسقاط الفضاء الجزئي

للبيانات المشوبة x̃ = s + n (إشارة برتبة k + ضوضاء بيضاء σ²I)، أعلى k قيمة ذاتية تتجاوز σ². اسقط على الفضاء الجزئي للإشارة لكبت الضوضاء:

مُقلِّل الضوضاء
\hat{\mathbf{s}}=Q_k Q_k^T\,\tilde{\mathbf{x}}

هذا المُقلِّل بالعتبة الصلبة هو أمثل بمعيار فروبينيوس للإشارات ذات الرتبة المعروفة (إيكارت-يونغ).

09 / 12
LA 101
اختبار سريع

تحقّق ممّا ثبت

أربعة أسئلة من هذا الدرس. أجب لترى السبب — يظهر الشرح سواء أصبتَ أم أخطأت. ولا شيء يُسجَّل أو يُحفَظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

10 / 12
LA 101
أهم النقاط
ملخص

أهم النقاط

  • PCA تُحلِّل C = QΛQᵀ طيفيًا؛ القيم الذاتية = تباين على طول الاتجاهات الرئيسية
  • أعلى k متجه ذاتي يعطي أمثل مشفِّر خطي برتبة k (مبرهنة إيكارت-يونغ)
  • EVR(k) = (λ₁+…+λₖ)/tr(C) يقيس نسبة التباين المحفوظ
  • مرفق مخطط الحصاة يكشف البُعد الجوهري؛ استخدم 95% EVR كعتبة افتراضية
  • إسقاط الفضاء الجزئي QₖQₖᵀx̃ يُقلِّل الضوضاء في إشارات برتبة k مثلى
11 / 12
LA 101
الوحدة مكتملة
الوحدة 10 مكتملة

الجبر الخطي في معالجة الإشارات

رأيت الجبر الخطي يلتقي بإشارات حقيقية: الالتفاف كضرب مصفوفات، تصميم المرشح الأمثل بالمربعات الصغرى ووينر-هوبف، والآن PCA تحوِّل التحليل الطيفي إلى آلة لضغط البيانات وتقليل ضوضائها.

نظرة عامة على الدورة
العودة إلى LA 101 ←
الدرس التالي كل الدروس اقرأ المقالة
12 / 12