LA 101
M12 · L01
الوحدة 12: تكاملي

تجميع كل شيء معاً

كل فكرة في هذه الدورة تطرح سؤالاً واحداً: كيف تؤثر المصفوفة على متجه؟ المتجهات والتحويلات والتحليلات والقيم الذاتية — كلها إجابات على هذا السؤال من زوايا مختلفة.

01 / 12
LA 101
M12 · L01
الفضاءات الجزئية الأربعة الأساسية

الصورة الكبرى

كل مصفوفة m × n تعرّف أربعة فضاءات جزئية تصف أثرها وصفاً تاماً: فضاء الأعمدة، الفضاء الصفري، فضاء الصفوف، الفضاء الصفري الأيسر. الرتبة + الاندثار = n — دائماً.

Rank-Nullity
r + (n - r) = n
02 / 12
LA 101
M12 · L01
سلسلة الأفكار

متجهات ← مصفوفات ← تحويلات

المتجهات نقاط. المصفوفات دوال. ضرب المصفوفات تركيب للدوال. مصفوفة الهوية هي دالة الهوية. هذه القفزة المفاهيمية الواحدة توحّد الدورة بأكملها.

v
متجه
A
تحويل خطي
Av
الأثر
03 / 12
LA 101
M12 · L01
Ax = b → المربعات الصغرى

قابلية الحل والإسقاط

Ax = b قابل للحل إذا وفقط إذا b ∈ C(A). حين يقع b خارج فضاء الأعمدة، اسقط b على C(A) — هذا هو أسلوب المربعات الصغرى. المعادلات الطبيعية وتحليل QR يحسبان هذا الإسقاط بكفاءة.

المعادلات الطبيعية
AᵀAx̂ = Aᵀb · الحل: x̂ = (AᵀA)⁻¹Aᵀb
04 / 12
LA 101
M12 · L01
SVD — التحليل الشامل

دوران · تمديد · دوران

أي مصفوفة تتحلل إلى A = UΣVᵀ. U وV دورانان متعامدان؛ Σ تمديد قطري. SVD يجعل كل شيء مرئياً: الفضاءات والرتبة ورقم التكييف وأفضل تقريب منخفض الرتبة.

SVD
A = U\Sigma V^T = \sum_{i=1}^{r}\sigma_i u_i v_i^T
05 / 12
LA 101
M12 · L01
اختيار التحليل

الأداة الصحيحة للمسألة الصحيحة

  • LU: حل Ax = b مرة واحدة بكفاءة
  • QR: المربعات الصغرى — أكثر استقراراً من المعادلات الطبيعية
  • القيمي-الذاتي: قوى المصفوفات والاستقرار والديناميكا
  • SVD: تقريب منخفض الرتبة، شبه-عكسي، تحليل المكونات الرئيسية
  • Cholesky: متماثلة موجبة معرّفة — نصف تكلفة LU
06 / 12
LA 101
M12 · L01
استغل البنية

تماثل · تفرق · توبليتز

المصفوفات المتماثلة تضمن متجهات ذاتية متعامدة. المصفوفات المتفرقة تتيح محلّات تكرارية. توبليتز (الالتفاف) يقطرها DFT — الـ FFT يعطي منتجات O(n log n) بدلاً من O(n²).

O(n²)
ضرب كثيف
O(n log n)
FFT (توبليتز)
07 / 12
LA 101
M12 · L01
الجبر الخطي في كل مكان

رياضيات واحدة، تخصصات كثيرة

الأفكار ذاتها تظهر تحت أسماء مختلفة: الالتفاف ↔ توبليتز، فورييه ↔ قاعدة متعامدة طبيعية، PCA ↔ تحليل طيفي، شبكات عصبية ↔ تراكيب مصفوفات، حالات كمومية ↔ متجهات هيلبرت.

08 / 12
LA 101
M12 · L01
فكّر هندسياً

ارسم قبل أن تحسب

قبل الحساب، تخيّل الهندسة: الإسقاط على فضاء جزئي، عامل التمدد، الزاوية بين المتجهات. رقم التكييف κ₂(A) = σ₁/σₗ، حيث l = min(m, n)، يخبرك بكمية الأرقام الصحيحة التي ستفقدها — الهندسة تتنبأ بالكارثة العددية قبل وقوعها.

رقم التكييف
κ₂(A) = σ₁ / σₗ · تفقد ≈ log₁₀(κ₂) رقماً
09 / 12
LA 101
اختبار سريع

تحقّق ممّاترسّخ

أربعة أسئلة تجمع الدورة — قابلية الحل، والتحليلات، والبنية، ورقم التكييف.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

10 / 12
LA 101
أبرز ما تعلمناه
ملخص

أبرز ما تعلمناه

  • سؤال واحد: كيف تؤثر المصفوفة على متجه؟
  • الفضاءات الأربعة تصف الأثر تاماً؛ الرتبة + الاندثار = n
  • SVD هو التحليل الشامل — استخدمه افتراضياً
  • اختر التحليل المناسب للمهمة
  • استغل البنية: التماثل والتفرق وتوبليتز تسرّع كل شيء
  • فكّر هندسياً قبل الحساب الجبري
11 / 12
LA 101
تكاملي
الوحدة 12 · الدرس 1 مكتمل

الشبكة مكتملة

لقد اجتزت القوس الكامل للجبر الخطي — من المتجهات الهندسية إلى SVD، من الإزالة الغاوسية إلى الشبكات العصبية. كل خيط يعود إلى Ax. هذا هو جمال الموضوع.

تابع
و12-د2: موضوعات متقدمة ←
كل الدروس اقرأ المقالة
12 / 12