LA 101
M07 · L02
الوحدة 7: تحليلات المصفوفات
تحليل QR
حلّل A = QR إلى متعامدة Q ومثلثية علوية R. تحليل QR هو العمود الفقري لحلول المربعات الصغرى وخوارزميات القيم الذاتية — وأكثر استقراراً من المعادلات الاعتيادية.
01 / 10
LA 101
M07 · L02
تحليل QR
متعامدة ومثلثية
أي مصفوفة m × n بأعمدة مستقلة خطياً تتحلل A = QR.
Q
أعمدة متعامدة وحدوية، QᵀQ = I
R
مثلثية علوية، قطر موجب
A = QR
التحليل
الفكرة المحورية
يعمل مع المصفوفات المستطيلة (m ≥ n). Q تحفظ المعايير والزوايا — تكييف مثالي.
02 / 10
LA 101
M07 · L02
حساب QR: الطريقة الأولى
عملية غرام-شميدت
خطوة غرام-شميدت
\tilde{e}_k = a_k - \sum_{i=1}^{k-1}(q_i^T a_k)q_i,\quad q_k = \frac{\tilde{e}_k}{\|\tilde{e}_k\|}
الكلاسيكية مقابل المعدَّلة
الكلاسيكية تفقد التعامد في الفاصلة العائمة. المعدَّلة تطرح كل إسقاط فوراً — أكثر استقراراً بكثير.
03 / 10
LA 101
M07 · L02
حساب QR: الطريقة الثانية
انعكاسات هاوس-هولدر
المصفوفة المتعامدة H = I − 2vvᵀ/(vᵀv) تعكس أي متجه عبر فضاء متعامد. اختر v لتصفير عمود كامل تحت القطر في خطوة واحدة.
- H متعامدة ومتماثلة: H² = I، HᵀH = I
- طبّق n انعكاسات من اليسار للحصول على R = Hₙ⋯H₁A
- استعِد Q = H₁⋯Hₙ (حاصل ضرب الانعكاسات)
- مستقرة عددياً — مستخدمة في LAPACK وNumPy
04 / 10
LA 101
M07 · L02
حساب QR: الطريقة الثالثة
دورانات غيفنز
دورانات غيفنز تُصفّر مدخلاً واحداً في كل مرة بتدوير إحداثيين. "المشرط الجراحي" لخوارزميات QR.
- كل دوران G(i, j, θ) يؤثر فقط على الصفين i وj
- يحفظ التفرق — مثالي للمصفوفات الشريطية
- يُستخدم للتحديث التدريجي لتحليل QR (إضافة صف واحد)
- عمليات أكثر من هاوس-هولدر للمصفوفات الكثيفة، لكنه أفضل للمتفرقة
05 / 10
LA 101
M07 · L02
التطبيق: المربعات الصغرى
حل min ‖Ax − b‖² باستقرار
QR والمربعات الصغرى
A=QR \Rightarrow Rx = Q^T b \text{ (back sub)}
مقابل المعادلات الاعتيادية
المعادلات الاعتيادية تشكّل AᵀA مما يربّع رقم التكييف: κ(AᵀA) = κ(A)². تحليل QR يحتفظ بـ κ(A) — أدق بكثير للبيانات سيئة التكييف.
06 / 10
LA 101
M07 · L02
التطبيق: القيم الذاتية
خوارزمية QR
تكرار QR
A_k = Q_k R_k \Rightarrow A_{k+1} = R_k Q_k
لماذا تنجح؟
كل خطوة Aₖ₊₁ = RₖQₖ متشابهة لـ Aₖ — القيم الذاتية ذاتها. المتتالية تتقارب نحو الشكل المثلثي (شور) والقيم الذاتية على القطر.
07 / 10
LA 101
M07 · L02
الاستقرار العددي
ميزة رقم التكييف
أعداد الشرط
\kappa(A^T A) = \kappa(A)^2 \gg \kappa(R) = \kappa(A)
- المعادلات الاعتيادية: الشرط κ(A)² — خانات الدقة المفقودة تتضاعف
- QR: الشرط κ(A) — نصف الفقد في الدقة
- لـ κ(A) = 10⁶: المعادلات الاعتيادية تفقد ١٢ خانة، QR يفقد ٦ فقط
- Q متعامدة → Q⁻¹ = Qᵀ، لا تضخّم الأخطاء قط
09 / 10
LA 101
M07 · L02
الوحدة 7 مستمرة
QR: المحلّل المستقر
A = QR (متعامدة × مثلثية علوية) تُمكّن المربعات الصغرى بنصف عقوبة رقم التكييف مقارنةً بالمعادلات الاعتيادية، وتُشغّل خوارزمية القيم الذاتية QR. انعكاسات هاوس-هولدر تجعلها محصّنة عددياً.
الوحدة 7: تحليلات المصفوفات
تحليل QR — تم ✓
10 / 10