LA 101
M08 · L01
الوحدة 8: صلات حساب المتجهات
التدرجات ومصفوفات جاكوبي
يُعمّم التدرج المشتقة إلى أبعاد متعددة. تمتد مصفوفة جاكوبي هذا المفهوم إلى الدوال ذات القيم المتجهية. معًا يُشكّلان قوة كل التحسين الحديث والتفاضل التلقائي.
01 / 11
LA 101
M08 · L01
التدرج
متجه المشتقات الجزئية
∇f ∈ ℝⁿ
نفس بُعد المدخل
∂f/∂xᵢ
المركبة رقم i
∇f = 0
شرط النقطة الحرجة
التفسير
كل مركبة ∂f/∂xᵢ هي معدل تغيّر f عند تغيّر xᵢ وحده مع ثبات البقية. يجمع التدرج كل هذه المعدلات في متجه واحد.
02 / 11
LA 101
M08 · L01
صيغة التدرج
∇f يشير إلى الأعلى
تعريف التدرج
\nabla f(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix}\partial f/\partial x_1\\ \vdots \\ \partial f/\partial x_n\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n
أشد الانحدار صعودًا
D_v f = ∇f · v يبلغ أقصاه عندما v ∥ ∇f. ينزل الهبوط التدرجي في اتجاه −∇f — أشد الاتجاهات انحدارًا نزولًا.
03 / 11
LA 101
M08 · L01
المشتقة الاتجاهية
ما معدل التغير في أي اتجاه؟
المشتقة الاتجاهية
D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x}) = \nabla f(\mathbf{x})^T \mathbf{v}, \quad \max_{\|\mathbf{v}\|=1} D_{\mathbf{v}}f = \|\nabla f\|
التدرج هو المتجه الوحيد الذي يُشفّر جميع المشتقات الاتجاهية: معرفة ∇f عند نقطة يخبرك بـ D_v f في كل اتجاه v عبر حاصل ضرب نقطي واحد فقط.
04 / 11
LA 101
M08 · L01
مصفوفة جاكوبي
التدرج للدوال المتجهية
- f : ℝⁿ → ℝᵐ — m مخرجات، n مدخلات
- J ∈ ℝᵐˣⁿ — مصفوفة m × n، Jᵢⱼ = ∂fᵢ/∂xⱼ
- الصف i — تدرج مركبة الخرج fᵢ
- العمود j — حساسية جميع المخرجات تجاه المدخل xⱼ
- f(x + δ) ≈ f(x) + Jδ — أفضل تقريب خطي
- det(J) — عامل تحجيم الحجم المحلي
05 / 11
LA 101
M08 · L01
صيغة مصفوفة جاكوبي
مصفوفة المشتقات الجزئية
مصفوفة جاكوبي
J_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j},\quad J \in \mathbb{R}^{m\times n},\quad \mathbf{f}(\mathbf{x}+\boldsymbol{\delta})\approx \mathbf{f}(\mathbf{x})+J\boldsymbol{\delta}
مثال الإحداثيات القطبية
للدالة f(r,θ) = (r cosθ, r sinθ)، det(J) = r. هذا يفسّر وجود r الإضافية في عنصر المساحة القطبية dA = r dr dθ.
06 / 11
LA 101
M08 · L01
قاعدة السلسلة المصفوفية
مصفوفات جاكوبي تتضاعف
قاعدة السلسلة للتراكيب
J_h = J_f \cdot J_g,\quad \underbrace{(m{\times}p)}_{J_h} = \underbrace{(m{\times}n)}_{J_f}\cdot\underbrace{(n{\times}p)}_{J_g}
الانتشار الخلفي
الشبكات العميقة تراكيب f = fₗ ∘ ⋯ ∘ f₁. الانتشار الخلفي هو ضرب متكرر لمصفوفات جاكوبي — من المخرج إلى المدخل. تنشأ مشاكل تلاشي/انفجار التدرج من القيم الشاذة الصغيرة/الكبيرة لجاكوبي.
07 / 11
LA 101
M08 · L01
مصفوفة الهيسيان
انحناء الرتبة الثانية
توسع تايلور من الرتبة الثانية
f(\mathbf{x}_0+\boldsymbol{\delta})\approx f(\mathbf{x}_0)+\nabla f^T\boldsymbol{\delta}+\tfrac{1}{2}\boldsymbol{\delta}^T H\boldsymbol{\delta}
الهيسيان H = ∇²f
مصفوفة متماثلة n × n من المشتقات الجزئية الثانية. موجبة التعريف ← حد أدنى محلي. سالبة التعريف ← حد أقصى محلي. غير محددة ← نقطة سرج. تُستخدم في طريقة نيوتن: δ = −H⁻¹∇f.
08 / 11
LA 101
M08 · L01
التطبيقات
أين تظهر التدرجات؟
- الهبوط التدرجي: x_{k+1} = x_k − α∇f(x_k)
- طريقة نيوتن: x_{k+1} = x_k − H⁻¹∇f(x_k)
- الانتشار الخلفي: قاعدة سلسلة جاكوبي عبر الشبكات
- الترشيح التكيفي (LMS): تحديث الأوزان عبر ∇L
- تحليل الحساسية: Jδx يُقدّر تغيّرات الخرج
- التفاضل التلقائي: الوضع الأمامي = Jv، العكسي = vᵀJ
10 / 11
LA 101
M08 · L01
الوحدة 8 · الدرس 1 مكتمل
∇f, J, H: الثلاثي الحسابي
التدرج ∇f يشير إلى الأعلى. جاكوبي J يُخطّط الخرائط المتجهية. الهيسيان H يلتقط الانحناء. معًا يُشكّلون العمود الفقري الرياضي للتحسين — من معالجة الإشارات إلى التعلم العميق.
الوحدة 8: صلات حساب المتجهات
التدرجات · التحسين · تطبيقات التعلم الآلي
11 / 11