LA 101
M09 · L02
الوحدة 9: الجبر الخطي العددي
الطرق التكرارية
حين تكون المصفوفة كبيرة جدًا للتحليل المباشر، تبني الطرق التكرارية سلسلة من التقريبات تتقارب نحو الحل — مستغلةً التفرق لتكلفة O(n) لكل خطوة عوضًا عن O(n³) للتحليل الكامل.
01 / 11
LA 101
M09 · L02
الدافع
لماذا نُكرّر؟
O(n³)
التكلفة المباشرة
O(nnz)
تكرار / خطوة
10⁶
مجهول PDE
الفكرة الأساسية
المسائل الكبيرة متفرقة — كل صف يحوي O(1) عناصر غير صفرية. الطرق التكرارية تحتاج فحسب لضرب مصفوفة في متجه Av، وتُبادل الدقة الكاملة بقابلية التوسع.
02 / 11
LA 101
M09 · L02
طريقة ياكوبي
التحديث المتزامن
تحديث ياكوبي
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\!\left(b_i-\sum_{j\neq i}a_{ij}x_j^{(k)}\right)
التقارب
يتقارب إذا ρ(T_J) < 1. السيادة القطرية (|a_ii| > Σ|a_ij|) تضمن ذلك. قابل للتوازي الكامل — جميع المركّبات تُحدَّث باستقلالية.
03 / 11
LA 101
M09 · L02
غاوس-زيدل
الاستخدام الفوري للمُحدَّث
تحديث غاوس-زيدل
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\!\left(b_i-\sum_{j<i}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j>i}a_{ij}x_j^{(k)}\right)
استخدم x₁…xᵢ₋₁ المُحدَّثة حديثًا فورًا. للمصفوفات المتماثلة الموجبة التحديد: دائمًا تتقارب. أسرع بنحو 2× من ياكوبي. الطابع التسلسلي يحدّ التوازي.
04 / 11
LA 101
M09 · L02
تسريع SOR
الإفراط في الاسترخاء
- ω = 1: يُختزل إلى غاوس-زيدل
- ω ∈ (1, 2): إفراط في الاسترخاء → تقارب أسرع
- ω ∈ (0, 1): تخفيف الاسترخاء → يستقرّ حالات متباعدة
- القيمة المثلى لبواسون: ω* = 2/(1 + sin(π/n))
- التحسين: من O(n²) إلى O(n) تكرار مع ω المثلى
05 / 11
LA 101
M09 · L02
شروط التقارب
متى تتقارب؟
شرط ضروري وكافٍ
ρ(T) < 1 — نصف قطر طيف مصفوفة التكرار يجب أن يكون أقل من 1 بصرامة.
شروط كافية
السيادة القطرية الصارمة → ياكوبي وغاوس-زيدل تتقارعان. SPD + ω ∈ (0,2) → SOR يتقارب. مبرهنة المقارنة: ρ(T_GS) = ρ(T_J)² للمصفوفات M.
06 / 11
LA 101
M09 · L02
التدرج المترافق
الطريقة الأمثل لـ SPD
حد تقارب التدرج المترافق
\frac{\|e_k\|_A}{\|e_0\|_A}\leq 2\!\left(\frac{\sqrt{\kappa}-1}{\sqrt{\kappa}+1}\right)^k
CG يُصغّر خطأ معيار-A على فضاء كريلوف 𝒦ₖ(A,b). يتقارب في ≤ n خطوة بالدقة التامة. يتطلب A متماثلة موجبة التحديد. المعدل يحكمه √κ(A).
07 / 11
LA 101
M09 · L02
التكييف المسبق
تقليص رقم التكييف
- قطري (ياكوبي): M = D، رخيص، غالبًا غير كافٍ
- ILU / IC ناقص: تحليل تقريبي، O(nnz) لكل تطبيق
- SSOR: يُقلّص κ من O(n²) إلى O(n) للابلاسيان
- شبكة متعددة جبرية: شبه O(n) للمعادلات الإهليجية
- الهدف: تجميع القيم الذاتية لـ M⁻¹A قرب 1
08 / 11
LA 101
M09 · L02
مباشر أم تكراري؟
اختيار المحلّ المناسب
- n < 10⁴: مباشر — قوي، لا يحتاج ضبطًا
- n ~ 10⁵–10⁶، ثنائي الأبعاد: CG مُكيَّف مسبقًا أو GMRES
- n > 10⁶ أو ثلاثي الأبعاد: الشبكة المتعددة الخيار الوحيد
- أطراف يمنى كثيرة: حلّل مرةً، حلّ كل b في O(n)
- بلا مصفوفة صريحة: الطرق التكرارية فحسب
10 / 11
LA 101
M09 · L02
الوحدة 9 · الدرس 2 مكتمل
التكرار حتى التقارب
ياكوبي: تحديث متزامن، قابل للتوازي. غاوس-زيدل: استخدام فوري للمُحدَّث، أسرع 2×. SOR: الاسترخاء ω يحوّل O(n²) إلى O(n). CG: أمثل لـ SPD، يتقارب بمعدل ((√κ−1)/(√κ+1))^k. التكييف المسبق يُقلّص κ الفعلي. الطرق المباشرة للـ n الصغير؛ التكرارية للمنظومات المتفرقة الكبيرة.
الوحدة 9: الجبر الخطي العددي
الفاصلة العائمة · الطرق التكرارية · المصفوفات المتفرقة
11 / 11