شغّل مِنصّة نظرية النهاية المركزية على توزيعٍ أبٍ شديد الالتواء، وتوقَّع — قبل أن تقرأ من الشاشة — الخطأ المعياري لمتوسّط العيّنة عند حجم عيّنة واحد، وكيف يتغيّر هذا الخطأ حين تضاعف n أربع مرّات، وكيف يتقلّص التواء توزيع المعاينة كلّما كبرت n.
تقول نظرية النهاية المركزية إنّ توزيع معاينة المتوسّط يؤول إلى توزيعٍ طبيعي مهما كان الأب ملتويًا — لكنّها نهاية، ورقمان يقولان كم تسرع. انتشاره هو الخطأ المعياري SE = σ/√n، الذي يتناقص مثل 1/√n: فلكي تُنصّفه عليك أن تضاعف n أربع مرّات، ولهذا فالدقّة مُكلفة. وشكله هو ما يصير طبيعيًّا، والمقياس الأمين لذلك هو التواء توزيع المعاينة يهبط نحو الصفر — ولمتوسّطٍ مستقلٍّ متماثل التوزيع يساوي γ₁/√n. فالتقارب رقمٌ تراقبه، لا انطباع.
افتح المِنصّة. تفتح على التوزيع الأبّ الأسّي مع إحصاءة المتوسّط — توزيعٌ شديد الالتواء، وهو الحالة التي تُحرِج قاعدة «n ≥ 30». تُسمّي كل خطوة المؤشّر الوحيد الذي تُغيّره؛ واترك ما عداه عند هذه القيم.
Parent -> Exponential (rate 1) Statistic -> Mean
n -> 4 Repetitions R -> 2500 Seed -> 20260821
راقب قراءة الانتشار (الانحراف المعياري المقيس) مع ملاحظتها σ/√n، وسطر اشتقاق مؤشّر n الذي يوضّح المضاعفة، وقراءة الالتواء في لوحة الإحصاءات. كل رقم تتوقّعه مطبوع هناك.
اضبط n = 4. للتوزيع الأسّي (المعدّل 1) انحرافٌ معياري σ = 1، فالخطأ المعياري لمتوسّط العيّنة هو SE = σ/√n = 1/√4. توقَّعه، ثم اقرأ قراءة الانتشار (الانحراف المعياري المقيس) وملاحظتها σ/√n.
تقرأ ملاحظة σ/√n القيمة 0.5. فحتى من توزيعٍ أبٍ شديد الالتواء، يكفي متوسّط أربع سحبات ليخفض انتشار المتوسّط إلى نصف انتشار الأب — ويقع الانحراف المعياري المقيس لتوزيع المعاينة على قيمة النظرية تلك تمامًا.
الآن اسحب n من 4 إلى 16. ولأنّ SE = σ/√n، فإنّ ضرب n في أربعة يقسم الخطأ على √4 = 2. توقَّع النسبة SE(16)/SE(4)، ثم اقرأ سطر اشتقاق مؤشّر n الذي يوضّح المُعامِل.
المُعامِل هو 0.5 — فمضاعفة n أربعًا (4 → 16) تُنصّف الخطأ المعياري تمامًا، فتأخذه من 0.5 إلى 0.25. وهذا هو قانون 1/√n، وهو سبب أنّ مضاعفة الدقّة تُكلّف أربعة أضعاف البيانات.
أبقِ n = 4، والتكرارات R = 2500، والبَذرة 20260821 — وهي القيم الافتراضية للمِنصّة. التواء الأب نفسه هو 2؛ وعند n = 4 ما زال توزيع المعاينة يحمل معظمه. اقرأ قراءة الالتواء في لوحة الإحصاءات.
تُظهر قراءة الالتواء نحو 0.9168 — ما زال ملتويًا إلى اليمين بوضوح، بعيدًا عن جرسٍ متماثل. فمتوسّط أربع سحبات قلّص التواء الأب البالغ 2 بمقدار √4 تقريبًا، لكنّ الأربع أقلّ بكثير من أن يبدو معها هذا الأب طبيعيًّا.
الآن اسحب n إلى 80، مع ترك R = 2500 والبَذرة كما هما. يهبط التواء متوسّط العيّنة مثل γ₁/√n. توقَّع أين يستقرّ تقريبًا، ثم اقرأ قراءة الالتواء مرّةً أخرى.
تهبط قراءة الالتواء إلى نحو 0.2521 — من 0.9168 عند n = 4، صار توزيع المعاينة الآن قريبًا من التماثل. وذلك الهبوط هو نظرية النهاية المركزية مُحوَّلةً إلى رقم: الأب الملتوي نفسه، لكنّ متوسّط عددٍ كافٍ من السحبات يكاد يكون طبيعيًّا.
كل ما سبق ينتظرك في المِنصّة. بدّل التوزيعات الأب — المنتظم، وبرنولي، وثنائي القمّة — وراقب متوسّط كلٍّ منها يصير طبيعيًّا بوتيرته الخاصّة؛ وتنقّل في سُلّم n في اللوحة E لتجد أوّل n يبدو طبيعيًّا؛ ثم اختر التوزيع الأب كوشي وإحصاءة العظمى لترى الحالتين اللتين لا تنطبق فيهما النظرية، فتسحب الصفحة منحنى النظرية بدلًا من أن تكذب.
- قرأتَ الخطأ المعياري لمتوسّط العيّنة عند n = 4: SE = σ/√n = 0.5
- رأيتَ مضاعفة n أربعًا (4 → 16) تُنصّف الخطأ، قانون 1/√n
- قِستَ التواء توزيع المعاينة عند n = 4: نحو 0.9168 — ما زال ملتويًا بوضوح
- راقبتَه يهبط إلى نحو 0.2521 عند n = 80 — النظرية مُحوَّلةً إلى رقم، لا انطباع
- كل قيمة توقّعتها هي حساب المعاينة الخاص بالعرض نفسه، لا صورة تقريبية