STAT 101
M07 · L01
الوحدة 7 · الدرس 1
الانحدار الخطي البسيط
خط واحد، معاملان، وأكثر نماذج التنبؤ استخدامًا في الإحصاء — نرسم خطًا مستقيمًا عبر البيانات لنصف كيف تؤثر متغير واحد في الآخر.
01 / 12
STAT 101
M07 · L01
المعادلة
النموذج
الانحدار الخطي البسيط
Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon
- β₀ — الحد الثابت (Y عندما X = 0)
- β₁ — الميل (تغيّر Y لكل وحدة من X)
- ε — خطأ عشوائي (ضجيج لا يمكن تجنّبه)
02 / 12
STAT 101
M07 · L01
ما الذي نُقلّله؟
المربعات الصغرى
مجموع مربعات البواقي
\text{SSR} = \sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2
البقية هي المسافة الرأسية بين النقطة المشاهدة والخط المُلاءَم: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ. تجد طريقة المربعات الصغرى العادية (OLS) الخط الذي يُقلّل مجموع المربعات.
03 / 12
STAT 101
M07 · L01
الحل التحليلي
مُقدّرات OLS
الميل
\hat{\beta}_1 = \dfrac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}
الحد الثابت
\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1\bar{x}
04 / 12
STAT 101
M07 · L01
ماذا يعني كل منهما؟
قراءة المعاملات
مثال: أسعار المنازل
السعر = 50,000 + 120 × المساحة
β₀ = 50 ألف$: التكلفة الأساسية
β₁ = 120$ لكل قدم مربع: قيمة المساحة
β₀ = 50 ألف$: التكلفة الأساسية
β₁ = 120$ لكل قدم مربع: قيمة المساحة
الحد الثابت له معنى فقط إذا كانت X = 0 ضمن نطاق البيانات. أما الميل فقابل للتفسير دائمًا.
05 / 12
STAT 101
M07 · L01
جودة الملاءمة
R² — التباين المُفسَّر
معامل التحديد
R^2 = 1 - \dfrac{\text{SSR}}{\text{SST}}
R² = 0
الخط عديم الفائدة
R² = 1
ملاءمة مثالية
06 / 12
STAT 101
M07 · L01
هل تتحقق الافتراضات؟
تحليل البواقي
- الخطية — لا نمط في البواقي مقابل X
- الاعتدالية — البواقي تقريبًا على شكل جرس (مخطط QQ)
- تجانس التباين — التباين ثابت عبر قيم X
- الاستقلالية — لا ارتباط ذاتي في البواقي
07 / 12
STAT 101
M07 · L01
التباين الثابت
تجانس التباين
الافتراض
Var(ε | X = x) = σ² لجميع قيم x
الانتهاك = عدم تجانس التباين: انتشار البواقي يتسع أو يضيق مع X. تصبح الأخطاء المعيارية غير موثوقة.
الانتهاك = عدم تجانس التباين: انتشار البواقي يتسع أو يضيق مع X. تصبح الأخطاء المعيارية غير موثوقة.
اكشف ذلك برسم البواقي مقابل القيم المُلاءَمة. عالجه بتحويلات لوغاريتمية أو أخطاء معيارية قوية.
08 / 12
STAT 101
M07 · L01
نوعان من الغموض
التنبؤ مقابل الثقة
فترة الثقة
متوسط Y
فترة التنبؤ
قيمة Y فردية
فترة الثقة تحصر متوسط الاستجابة الحقيقي عند X = x*. فترة التنبؤ تحصر ملاحظة جديدة — دائمًا أوسع لأنها تضيف تباين ε الذي لا يمكن تجنّبه.
09 / 12
STAT 101
M07 · L01
اختبار الميل
دلالة الميل
إحصاء t لـ β₁
t = \dfrac{\hat{\beta}_1}{\text{SE}(\hat{\beta}_1)}
H₀: β₁ = 0 (لا تأثير خطي لـ X). نرفضها إذا |t| > t₋₍ᴰ₎ₓ(n−2). الميل الدال إحصائيًا يعني أن X متنبئ خطي مفيد لـ Y.
10 / 12
STAT 101
ملخص
مراجعة
ما تعلّمته
- النموذج: Y = β₀ + β₁X + ε — خط مع ضجيج
- OLS تُقلّل ∑(yᵢ − ŷᵢ)² لإيجاد β̂₀ وβ̂₁
- β₁ = الميل: تغيّر Y لكل وحدة من X
- R² يقيس نسبة تباين Y المُفسَّر بواسطة X
- افحص البواقي: الخطية، الاعتدالية، تجانس التباين
- فترات التنبؤ أوسع من فترات الثقة — تضيف ضجيج ε
- اختبار t على β₁ يُحدد ما إذا كانت X متنبئًا مفيدًا
12 / 12