تضمين السعة — المفهوم والرياضيات | WRL-101

فكرة تضمين السعة

تضمين السعة (AM) هو الجواب الأبسط والأكثر مباشرةً على المشكلة التي طرحها الدرس السابق: إشارة الرسالة تتحكم مباشرةً في السعة — الارتفاع القمي — لموجة الحاملة.

فكّر في AM كموجة حاملة "تتنفس" بالتزامن مع الرسالة. عندما تكون الرسالة قوية، تتأرجح الحاملة عاليًا. وعندما تهدأ الرسالة، تكاد الحاملة لا تتحرك. شكل هذا التنفس — الغلاف — هو نسخة طبق الأصل من إشارة الرسالة.

كان AM أول نظام تضمين يُستخدم تجاريًا. ابتداءً من عشرينيات القرن الماضي، غيّر الإذاعة AM المجتمع بإدخال الأخبار والموسيقى والثقافة إلى المنازل عبر القارات. لا يزال AM مستخدمًا حتى اليوم في بث الموجات المتوسطة واتصالات الطيران.

معادلة إشارة AM

لإشارة رسالة أحادية النغمة x(t) = A_m cos(2πf_mt)، إشارة AM القياسية هي:

إشارة AM

s(t)=A_c[1+ m\cos(2\pi f_m t)]\cos(2\pi f_c t)

A_c هو سعة الحاملة، f_c تردد الحاملة، m مؤشر التضمين، و f_m تردد الرسالة. الحد بين القوسين [1 + mcos(2πf_mt)] هو الغلاف — يركب فوق جيب تمام الحاملة.

لاحظ البنية: إشارة AM هي جيب تمام حاملة معامل سعته ليس ثابتًا A_c بل كمية متغيرة زمنيًا A_c[1 + mcos(2πf_mt)]. هذه السعة المتغيرة زمنيًا هي الغلاف، وتتتبع الرسالة بأمانة.

مؤشر التضمين

مؤشر التضمين m هو نسبة سعة الرسالة إلى سعة الحاملة:

مؤشر التضمين

m=\frac{A_m}{A_c},\quad 0\le m\le 1

يتراوح m من 0 (لا تضمين — الحاملة فقط) إلى 1 (تضمين 100% — أقصى تضمين آمن). القيم فوق 1 تسبب التضمين الزائد.

فيزيائيًا، يحدد m عمق تأرجح سعة الحاملة:

عند m = 0: حاملة نقية، لا رسالة مُشفَّرة.
عند m = 0.5: السعة تتراوح من 0.5A_c إلى 1.5A_c — تضمين 50%.
عند m = 1: السعة تتراوح من 0 إلى 2A_c — تضمين 100%، أقصى عمق.
عند m > 1: الغلاف يصبح سالبًا — تضمين زائد، يسبب التشويه.

التضمين الزائد: الحد الصارم

عندما m > 1، يصبح الحد [1 + mcos(2πf_mt)] سالبًا في بعض النقاط. هذا يعني أن طور الحاملة ينقلب 180°. كاشف الغلاف — الذي يفترض دائمًا أن الغلاف موجب — يُنتج خرجًا مشوهًا لا يشبه الرسالة الأصلية. لذا فإن m ≤ 1 قيد تصميمي أساسي لأنظمة AM القياسية.

طيف AM: ثلاثة خطوط

لفهم إشارة AM في المجال الترددي، نوسّع الجداء باستخدام هوية ضرب جيب التمام: cos(A)·cos(B) = ½[cos(A−B) + cos(A+B)].

التوسيع الطيفي

s(t)=A_c\cos(2\pi f_c t)+\frac{ m A_c}{2}\cos(2\pi(f_c+f_m)t)+\frac{ m A_c}{2}\cos(2\pi(f_c-f_m)t)

ثلاثة مكونات ترددية: الحاملة عند f_c، والشريط الجانبي الأعلى (USB) عند f_c + f_m، والشريط الجانبي الأدنى (LSB) عند f_c − f_m. كل شريط له سعة mA_c/2.

هذا هو طيف AM: خط حاملة واحد يحيط به شريطان جانبيان. معلومات الرسالة موجودة كليًا في الشرائح الجانبية — الحاملة لا تحمل معلومات، فقط طاقة. هذا البناء الطيفي يحدد مباشرةً عرض النطاق.

عرض النطاق

تشغل إشارة AM الترددات من f_c − f_m,max إلى f_c + f_m,max. عرض النطاق الكلي:

BW = 2 × f_m,max

لاتصالات الصوت حيث f_m,max = 3.4 كيلوهرتز، BW = 6.8 كيلوهرتز. قارن هذه الـ 6.8 كيلوهرتز بـ FM الإذاعي الذي يشغل نحو 200 كيلوهرتز — أي أن AM يستوعب قرابة 30 ضعف عدد قنوات الصوت في نفس الطيف. (تُباعَد قنوات بث AM القياسية بـ 10 كيلوهرتز، وهو ما يترك مجالاً لنطاقات الحماية.) وهذه الكفاءة الطيفية أحد أسباب قدرة نطاق الموجة المتوسطة المزدحم (535–1705 كيلوهرتز) على استيعاب مئات المحطات الباثّة في آن واحد.

كفاءة الطاقة: عقب أخيل في AM

العيب الكبير في AM هو كفاءة الطاقة. إجمالي طاقة إشارة AM هو:

إجمالي الطاقة

P_{\text{total}}=P_c\!\left(1+\frac{ m^2}{2}\right)

P_c = A_c²/2 هو طاقة الحاملة. طاقة الشرائح الجانبية هي P_c·m²/2. عند تضمين 100% (m = 1)، طاقة الشرائح = P_c/2.

عند m = 1، الطاقة الكلية 1.5P_c: P_c في الحاملة وP_c/2 في الشرائح الجانبية. نسبة الشرائح = 1/3. بمعنى آخر، ثلث الطاقة المُرسَلة فقط تحمل معلومات حتى عند أقصى تضمين.

الحاملة — 2/3 من الطاقة (لا معلومات)

الشرائح — 1/3

هذا تبذير جوهري. عند عمق تضمين أقل، الوضع أسوأ: عند m = 0.5، تحمل الشرائح 1/9 فقط من إجمالي الطاقة. لهذا تحتاج أجهزة بث AM إلى طاقة عالية جدًا لتحقيق نفس المدى مقارنة بـ SSB أو FM بطاقة أقل بكثير.

متغيرات AM: حل مشكلة الكفاءة

طوّر المهندسون عدة متغيرات لـ AM لتحسين كفاءة الطاقة وعرض النطاق:

DSB-FC (AM القياسي)

كلا الشريطين + الحاملة. كشف غلاف بسيط. غير كفء في الطاقة. يُستخدم في بث AM.

DSB-SC

كلا الشريطين، حاملة مقموعة. كفاءة مضاعفة، لكن يحتاج كشفًا مترابطًا. يُستخدم في الإذاعة الستيريو.

SSB (شريط جانبي واحد)

شريط جانبي واحد فقط. نصف عرض النطاق، أفضل كفاءة. يُستخدم في راديو HF والاتصالات البحرية.

VSB (الشريط البقايا)

شريط + جزء من الآخر. حل وسط للإشارات العريضة النطاق. يُستخدم في التلفزيون التناظري.

كيف نستخرجها من جديد

رغم ضعف الكفاءة في القدرة، بقي AM القياسي لسبب واحد: إزالة تضمينه سهلة إلى حدّ غير عادي. فلأن الغلاف هو الرسالة، يكفي صمام ثنائي ومكثف ومقاومة لاسترجاع الصوت — بلا مذبذب، ولا مرجع طور، ولا حتى مصدر طاقة. الدرس M3-L3 يبني كاشف الغلاف هذا، ويستخرج ثابت الزمن الوحيد الذي يعتمد عليه، ويوضّح ما يجب أن يتغيّر بعد قمع الحاملة.

أهم النقاط

AM يُشفِّر الرسالة في السعة (الغلاف) للحاملة: s(t) = A_c[1 + mcos(2πf_mt)]cos(2πf_ct). مؤشر التضمين m = A_m/A_c يجب أن يبقى ≤ 1. طيف AM له ثلاثة مكونات — حاملة عند f_c وشريطان جانبيان — يعطي BW = 2f_m. عند تضمين 100%، ثلث الطاقة الكلية فقط في الشرائح المفيدة. متغيرات AM (DSB-SC، SSB) تحسّن الكفاءة على حساب بساطة الكشف.