توقّفت الوحدة 7 خطوةً واحدة قبل النهاية، وذلك مقصود. فأنت تعلم أن الهوائي المرسِل يركّز القدرة في اتجاه، وأن الهوائي المستقبِل يتصرّف كمساحةٍ جامعة مقدارها Ae = λ²G/4π متراً مربّعاً. أمّا الجملة التي تصل بينهما فلم يكتبها أحد بعد: إذا أُعطيت مرسِلاً بكذا واط، وهوائيين بكسبٍ معلوم، وفجوةً مقدارها d متراً، فكم واطاً يصل؟ تلك الجملة هي معادلة فرايس للإرسال، وهي أكثر صيغةٍ استعمالاً في هندسة الراديو. وسنبنيها على خطوتين بدل أن نقتبسها، لأن الخطوتين هما ما يجعل أشهر نتائجها — اعتماد فقد المسار الظاهري على التردّد — مفهوماً.
ضع مرسِلاً في وسط فضاءٍ خالٍ ودعه يُشعّ Pt واط بالتساوي في كل الاتجاهات. لا شيء يُمتصّ، فبعد أن تقطع الموجة مسافة d تكون كل الـPt واط ما زالت موجودة — لكنها الآن مدهونة على سطح كرةٍ نصف قطرها d، وذلك السطح 4πd² متراً مربّعاً. وكثافة القدرة، بالواط لكل متر مربّع، هي ما تحصل عليه بالقسمة. والهوائي الاتجاهي لا يغيّر شيئاً في هذه المحاسبة؛ إنه يضرب الكثافة في اتجاهه المفضّل بكسبه Gt ويقسمها في كل ما عداه، تماماً كما أصرّ الدرس M7-L1.
هذا هو قانون التربيع العكسي الذي لقيته بصورةٍ حدسية في الدرس M1-L3، مكتوباً الآن كمعادلة. ضاعِف d فتغطّي القدرة نفسها أربعة أضعاف المساحة، فتهبط الكثافة إلى الربع. ويستحقّ السبب وضوحاً، لأن هذا الحدس يبقى حاضراً في كل نموذجٍ لاحق: لم يُفقَد شيء. الفضاء الحرّ لا يستهلك طاقة. القدرة أرقّ، لا أقلّ.
ضع الآن المستقبِل في ذلك الرشّ الرقيق من القدرة. لديك من الدرس M7-L1 القطعة التي تحتاجها: الهوائي المستقبِل بكسب Gr يعترض الموجة الواصلة على فتحةٍ فعّالة Ae = λ²Gr/4π. فالقدرة المستقبَلة ليست إلا الكثافة مضروبةً في المساحة — واط لكل متر مربّع في أمتار مربّعة — والوحدات تُختصر إلى الواط بلا أي معامل ملفَّق. عوّض إحدى العبارتين في الأخرى فتسقط معادلة فرايس كلّها في سطرٍ واحد من الجبر.
اقرأ النتيجة ولاحظ ما لا تحتويه. لا معامل امتصاص، ولا خاصّية مادّة، ولا غلاف جوي. كل حدٍّ فيها إمّا شيءٌ بنيته أنت (قدرة، وكسبان) أو هندسةٌ خالصة (مسافة، وطول موجة). ولهذا تُسمّى معادلة الفضاء الحرّ: إنها الجواب لكونٍ لا يحتوي إلا هوائيين.
من أين جاءت الـλ فعلاً. تتبّعها إلى الوراء فستجد أن طول الموجة دخل في موضعٍ واحد بالضبط: الفتحة الفعّالة للهوائي المستقبِل. وهو ليس في حدّ الانتشار، لأن الكرة لا تعنيها أيّ تردّدٍ يعبرها. احفظ هذه الفكرة — فهي الجواب كلّه على سؤال «لماذا تفقد التردّدات العالية أكثر؟»، وكل تفسيرٍ خاطئ لذلك السؤال تقريباً ينشأ من نسيان أن الـλ وصلت عبر هوائي لا عبر الفضاء الفاصل.
قلّما يستعمل المهندسون فرايس بالصورة أعلاه. فالأنفع أن تُقسَم الوصلة إلى ما اخترته أنت وما فرضته الطبيعة، فيُسحَب العامل الهندسي وحده، ويُقلَب ليصير عدداً أكبر من واحد، ويُمنَح اسمه الخاص: فقد المسار في الفضاء الحرّ. والقلب اصطلاحٌ محاسبيّ لا أكثر — يتيح لك أن تكتب «ناقص 100 ديسيبل فقداً» بدل «زائد كسبٍ مقداره 10⁻¹⁰».
فقد المسار نسبةٌ بين قدرتين، فيدخل الديسيبل بقاعدة 10·log₁₀ من الدرس M2-L4 — ولأن النسبة مقدارٌ مربَّع يخرج التربيع إلى الأمام معاملاً قدره اثنان، فيعطي الـ20·log₁₀ التي تراها أدناه. وهذا ليس الالتباس بين السعة والقدرة الذي حذّر منه الدرس M2-L4؛ إنها نسبة قدرةٍ اتّفق أنها مربَّعة. وأخذ لوغاريتم الثابت 4π/c يعطي 20 log₁₀(4π/2.998×10⁸) = 20 log₁₀(4.192×10⁻⁸) = −147.55 ديسيبل.
ولا أحد يكتب التردّدات بالهرتز، فيقوم ثابتان مُعاد قياسهما بالعمل اليومي — وهما المعادلة نفسها لا ثلاث معادلات مختلفة. حوّل d من الأمتار إلى الكيلومترات فتضيف 20 log₁₀(1000) = 60 ديسيبل؛ وحوّل f من الهرتز إلى الميغاهرتز فتضيف 20 log₁₀(10⁶) = 120 ديسيبل. فيكون −147.55 + 60 + 120 = +32.45. وأعِد قياس التردّد مرّةً أخرى، من الميغاهرتز إلى الغيغاهرتز، فتضيف 60 ديسيبل أخرى: 32.45 + 60 = +92.45. وأيٌّ من الثلاث يعطي الجواب نفسه للمسألة نفسها، ومقابلة إحداها بالأخرى أسرع طريقةٍ لاصطياد خطأ وحدات.
| وحدة d | وحدة f | الثابت | الصيغة |
|---|---|---|---|
| متر | هرتز | −147.55 | 20log(d_m) + 20log(f_Hz) − 147.55 |
| كيلومتر | ميغاهرتز | +32.45 | 32.45 + 20log(d_km) + 20log(f_MHz) |
| كيلومتر | غيغاهرتز | +92.45 | 92.45 + 20log(d_km) + 20log(f_GHz) |
خُذ حاملاً لشبكة WiFi عند 2.4 غيغاهرتز ومئة متر بلا عوائق — ساحة سيّاراتٍ مكشوفة مثلاً. وبصيغة الغيغاهرتز، d = 0.1 كم وf = 2.4 غيغاهرتز:
وتحقّق الآن بالطريق الطويل، من التعريف. عند 2.4 غيغاهرتز يكون λ = 3×10⁸/2.4×10⁹ = 0.125 متر، فيكون 4πd/λ = 12.566 × 100 / 0.125 = 10,053، و20 log₁₀(10,053) = 80.05 ديسيبل. الطريقان يتّفقان، وهذا هو بالضبط التحقّق الذي يستحقّ أن يصير عادة. والنتيجة تستحقّ وقفة: 80 ديسيبل معامله مئة مليون. فمن المئة ملّيواط التي تُشعّها نقطة وصولٍ نموذجية يصل جزءٌ من مئة مليون إلى هوائي مستقبِل على بعد 100 متر — نحو نانوواط واحد — وذلك في أفضل يومٍ تسمح به الفيزياء.
متى صار فقد المسار بالديسيبل أمكنك إجراء قانون التربيع العكسي ذهنيّاً. فمضاعفة المسافة تضرب الفقد في أربعة، ومعامل أربعةٍ في القدرة هو 20 log₁₀(2) = 6.02 ديسيبل — الستّة ديسيبلات نفسها التي يعطيها 10 log₁₀(4)، لأن كلتيهما تصف نسبة القدرة نفسها. وعشرة أضعاف المسافة هي 20 log₁₀(10) = 20 ديسيبل. فيصعد فقد الفضاء الحرّ بثباتٍ بمعدّل 20 ديسيبل لكل عشرية مسافة، ويكون خطّاً مستقيماً على محور مسافةٍ لوغاريتمي.
ستّة ديسيبلات لكل مضاعفة تبدو لطيفةً وهي قاسية. فالانتقال من 100 متر إلى كيلومتر يكلّف 20 ديسيبل — هبوطاً مئة ضعف في القدرة المستقبَلة — والانتقال من 100 متر إلى 36,000 كم يكلّف 20 log₁₀(360,000) = 111 ديسيبل فوق ما عندك أصلاً. وهو أيضاً سبب كون أنصاف أقطار الخلايا على ما هي عليه: التغطية لا تتقلّص برشاقةٍ حين تمدّ الوصلة، بل تسقط عن حافّةٍ انحدارها 6 ديسيبل لكل مضاعفة بالضبط.
حدٌّ لا تحترمه الصيغة. يمرّ فقد المسار في الفضاء الحرّ بالصفر ديسيبل حين يكون 4πd = λ، أي عند d = λ/4π، وهي 9.95 مم عند 2.4 غيغاهرتز. وأقرب من ذلك تعيد الصيغة فقداً سالباً — أي كسباً — وهذا هُراء بيّن. ولا شيء معطوب: أنت فقط دخلت المجال القريب، حيث تتوقّف افتراضات المجال البعيد في الدرس M7-L1 وبالتالي هذا الاشتقاق كلّه. فاعتبر فقد المسار في الفضاء الحرّ صحيحاً في المجال البعيد لكلا الهوائيين فقط.
أفضل طريقةٍ لتحسّ بالـ20 ديسيبل لكل عشرية أن تذهب إلى أقصى ما يذهب إليه الراديو عادةً. القمر الثابت بالنسبة للأرض يقف على ارتفاع 35,786 كم فوق خطّ الاستواء — سمّها 36,000 كم، وهو الرقم الذي يقتبسه الجميع — ووصلةٌ تلفزيونية هابطة في نطاق Ku تستعمل نحو 12 غيغاهرتز. فقد المسار أوّلاً، بصيغة الغيغاهرتز: 20 log₁₀(36,000) = 91.13 ديسيبل، و20 log₁₀(12) = 21.58 ديسيبل، و92.45 + 91.13 + 21.58 = 205.16 ديسيبل، وسنحملها كـ205.2 ديسيبل.
مئتان وخمسة ديسيبلات نسبةٌ مقدارها 3×10²⁰. ومكتوبةً بالكلام: يصل نحو جزءٍ واحد من ثلاث مئة كوينتليون من القدرة المُشعّة. ولن يقهر أيّ قدرٍ من المرسِل ذلك بالقوّة الغاشمة، ولهذا يكون طرفا الوصلة الساتلية هوائيّاً في معظمهما. وهذه هي الوصلة كلّها في سطرٍ واحد من الجمع، على طريقة البيت في الدرس M2-L4 — بالـdBW هذه المرّة لا بالـdBm، لأن أهل السواتل يعملون بالواط:
| الحدّ | القيمة | من أين جاء |
|---|---|---|
| قدرة إرسال القمر | +20 dBW | مكبّر بأنبوب موجةٍ سائرة بقدرة 100 واط |
| كسب هوائي القمر | +35 dBi | حزمةٌ موضعية مُشكَّلة، فيكون EIRP إذن 55 dBW |
| فقد المسار في الفضاء الحرّ | −205.2 ديسيبل | 36,000 كم عند 12 غيغاهرتز، محسوباً أعلاه |
| الغلاف الجوي والتوجيه | −1.5 ديسيبل | غازات السماء الصافية زائد عدم دقّة تسديد الطبق |
| كسب طبقٍ بقطر متر عند 12 غيغاهرتز | +40 dBi | 0.65 × (πD/λ)² = 10,280، أي 40.1 dBi |
| فقد التغذية والوصلات | −0.5 ديسيبل | مسارٌ قصير إلى مُنزِل التردّد منخفض الضجيج |
وهل تُغلَق الوصلة؟ ذلك يتوقّف على الضجيج الذي عليها أن تتغلّب عليه، وهو موضوع الوحدة 9، لكن شكل الجواب متاحٌ من الآن. قدرة الضجيج الحراري هي kTB. فلدرجة حرارة ضجيجٍ للمنظومة مقدارها 150 كلفن ومُرحِّلٍ بعرض نطاق 27 ميغاهرتز، يكون 10 log₁₀(k) = −228.6 dBW/كلفن/هرتز، و10 log₁₀(150) = 21.8 ديسيبل، و10 log₁₀(27×10⁶) = 74.3 ديسيبل، فتكون أرضية الضجيج −228.6 + 21.8 + 74.3 = −132.5 dBW، أي −102.5 dBm.
فتكون نسبة الحامل إلى الضجيج −112.2 − (−132.5) = 20.3 ديسيبل. وحاملٌ تلفزيوني رقمي بتضمين QPSK يحتاج نحو 7 ديسيبل ليُفَكّ، فتُغلَق الوصلة بنحو 13 ديسيبل في اليد — وهي تحتاج ذلك الهامش، لأن مطراً غزيراً عند 12 غيغاهرتز قد يمتصّ من 6 إلى 10 ديسيبل ويأخذه. واختيار مقدار الهامش الذي تحتفظ به هو هامش الخبوت، وذلك شغل الدرس M9-L4؛ والمقصود هنا أن فقد المسار في الفضاء الحرّ كان أكبر حدٍّ في الموازنة بفارقٍ هائل، وأن كل ما عداه كان تصحيحاً له.
انظر إلى صيغة الديسيبل فحدّ التردّد هناك أمامك: +20 log₁₀(f). انتقل من 2.4 غيغاهرتز إلى 12 غيغاهرتز، أي بمعامل خمسة، فتدفع 20 log₁₀(5) = 14.0 ديسيبل فقداً إضافياً على المسافة نفسها. وهذا يُعاد في كل مكان، ومعه تفسيرٌ عادةً — أن التردّدات العالية تُمتصّ أكثر، أو تُحجَب أسهل، أو تتبدّد أكثر. وفي الفضاء الحرّ كل تفسيرٍ من هذه خاطئ، والاشتقاق أعلاه يبيّن السبب: لا شيء في حدّ الانتشار ليمتصّ شيئاً، وهندسة الكرة لا تدري أيّ تردّدٍ يعبرها.
وما جرى فعلاً هو ما قاله الإطار أعلاه. الـλ الوحيدة في المعادلة جاءت من Ae = λ²Gr/4π. وتثبيت الكسب مع رفع التردّد يقلّص الحجم المادّي للهوائي الذي يسلّم ذلك الكسب، فيقلّص المساحة الجامعة، فتُلتقَط قدرةٌ أقلّ. فالفقد ليس في القناة بحال — بل في الافتراض المضمَر بأن هوائيّيك بقيا كما هما كهربائيّاً وهما يتقلّصان ماديّاً. قُل الافتراض بصوتٍ عالٍ فينحلّ اللغز.
وهذا يقترح التجربة البديهية: ثبّت الحجم المادّي للهوائيين عوضاً عن ذلك، ودع كسبهما يفعل ما تقوله الفيزياء. طبقٌ بقطر D كسبه G = η(πD/λ)²، وهو يصعد كـf². واثنان منه، واحدٌ في كل طرف، يساهمان بـf⁴، مقابل الـf² التي يأخذها فقد المسار — فترتفع القدرة المستقبَلة صعوداً كـf². ومكتوبةً بالفتحات بدل الكسوب تجعل فرايس هذا جليّاً، وهي الصورة التي يفكّر بها مهندسو السواتل والموجات الميكروية فعلاً:
ضع أرقاماً على القراءتين، على القفزة نفسها بطول 10 كم، فيكون التناظر لافتاً. فمع 6 dBi في كل طرف — هوائيان صغيران ثابتا الكسب — يكلّف الانتقال من 2.4 إلى 12 غيغاهرتز 14.0 ديسيبل. ومع طبقٍ بقطر متر في كل طرف وكفاءة فتحةٍ 65%، تكسب الحركة نفسها 14.0 ديسيبل. القناة نفسها، والمسافة نفسها، والفيزياء نفسها، ونتيجتان متعاكستان، لأن التجربتين ثبّتتا شيئين مختلفين.
| وصلة 10 كم | 2.4 غيغاهرتز | 12 غيغاهرتز | التغيّر |
|---|---|---|---|
| فقد المسار | 120.05 ديسيبل | 134.03 ديسيبل | +13.98 ديسيبل أسوأ |
| كسب ثابت، 6 dBi في كل طرف | 6 + 6 − 120.05 = −108.05 ديسيبل | 6 + 6 − 134.03 = −122.03 ديسيبل | 13.98 ديسيبل أسوأ |
| طبق ثابت بقطر متر في كل طرف | 26.14 + 26.14 − 120.05 = −67.77 ديسيبل | 40.12 + 40.12 − 134.03 = −53.79 ديسيبل | 13.98 ديسيبل أفضل |
العمود الأخير هو 20 log₁₀(5) = 13.98 ديسيبل في الصفوف الثلاثة كلّها، وإشارته يحدّدها ما ثبّتته أنت. فالعبارة الصادقة ليست «التردّدات العالية تنتشر أسوأ» بل هذه: عند كسب هوائيٍّ ثابت تفقد التردّدات العالية أكثر؛ وعند حجم هوائيٍّ ثابت تفوز التردّدات العالية. والـ5G الملّيمتري مثالٌ حيّ — إنه ينجو من فقد مساره الهائل بالضبط لأن مصفوفةً عند 28 غيغاهرتز تحشد عشرات العناصر في مساحة ظفرٍ فتستردّ الفتحة، كما لوّح الدرس M7-L1. وأمّا حيث تعاني التردّدات العالية فعلاً من الوسط فهو امتصاص الأكسجين وبخار الماء، والمطر، وسوء الانعطاف حول العوائق، ولا شيء من ذلك في هذه المعادلة.
كل ما سبق افترض كوناً فيه هوائيان ولا شيء غيرهما: مسارٌ واحد بلا عوائق، ولا أرض، ولا جدران، ولا غلاف جوي، ولا مطر، ولا انعكاسات. وذلك الكون غير موجود. ففقد المسار في الفضاء الحرّ إذن حدٌّ أدنى للفقد — أرضيّةٌ متفائلة. والوصلات الحقيقية أسوأ، بعشرات الديسيبلات أحياناً، وأفضل لحظيّاً في النادر جدّاً، حين يتّفق لانعكاسٍ أن يُجمَع على الطور مع المسار المباشر. وأيّ قياسٍ يخرج أدنى من فقد الفضاء الحرّ على متوسّطٍ طويل هو خطأ قياسٍ لا اكتشاف.
وحيث يقارب فقد الفضاء الحرّ الحقيقة هو حيث يستحقّ أجره: الوصلات الساتلية فوق الغلاف الجوي، وعلم الفلك الراديوي، والقفزات الميكروية على أبراجٍ بُنيت عالية بما يكفي لتجاوز كل شيء، وقياس بُعد المسابر السحيقة، وتقديرٌ أوّل لأي وصلة على خطّ النظر. وفي كل ما عدا ذلك هو نقطة البداية التي تصحّحها بقية الوحدة 8. فالدرس M8-L2 يضيف الانعكاس والانعطاف والتبدّد، فتصل الموجة بأكثر من طريق. والدرس M8-L3 يدع تلك الطرق تتداخل فيعطيك تعدّد المسار والخبوت. والدرس M8-L4 يتخلّى عن الفيزياء المغلقة لصالح نماذج مقيسة — لوغاريتمية المسافة، وأوكومورا-هاتا، وCOST-231 — تلائم مدناً حقيقية. والدرس M9-L4 يجمّع الموازنة الكاملة بالضجيج وهامش الخبوت. والأربعة كلّها تبدأ بحساب فقد المسار في الفضاء الحرّ ثم تضيف إليه.