خرج أي نظام LTI هو التواء إدخاله مع استجابته النبضية. هذه العملية الواحدة هي أساس كل مرشّح، ومعادّل، ونموذج قناة في معالجة الإشارات الرقمية.
لنظام LTI ذي استجابة نبضية h[n] يُغذَّى بإدخال x[n]، يساوي الخرج مجموع نسخ موزونة ومُزاحة من h[n] — واحدة لكل عينة إدخال.
خاصية الغربلة تُحلّل أي إشارة إلى نبضات موزونة. الخطية تُمرّر المجموع عبر T. ثبات الزمن يحوّل كل T{δ[n−k]} إلى h[n−k]. مجموع الالتواء هو النتيجة الحتمية.
لحساب y[n] عند مؤشر خرج واحد: اعكس h لتحصل على h[−k]، ازحزه بمقدار n لتحصل على h[n−k]، اضربه مع x[k] نقطةً بنقطة، ثم اجمع كل النواتج.
- الإبدالية: x*h = h*x — الترتيب لا يهم
- الترابطية: (x*h₁)*h₂ = x*(h₁*h₂) — المرشّحات المتسلسلة تتحد في مرشّح واحد
- التوزيعية: x*(h₁+h₂) = x*h₁ + x*h₂ — المرشّحات المتوازية تتجمع
النبضة الوحدوية هي العنصر المحايد للالتواء: x[n] * δ[n] = x[n]. والنبضة المُزاحة δ[n−n₀] تمثّل تأخيراً نقياً.
إشارة N عينة * نواة M عينة → خرج N+M−1 عينة. تعقيد مباشر: O(N·M). تعقيد FFT: O((N+M)log(N+M)).
FIR: استجابة نبضية منتهية — مستقر دائماً، الالتواء المباشر، يتيح فازاً خطياً.
IIR: استجابة نبضية لانهائية — يُنفَّذ عبر معادلات الفروق، معاملات أقل لانتقائية حادة، يستلزم التحقق من الاستقرار.
- y[n] = Σ x[k]·h[n−k] — مجموع الالتواء لأي نظام LTI
- مشتق من الغربلة + الخطية + ثبات الزمن
- الطريقة البيانية: اعكس، ازحز، اضرب، اجمع
- خصائص: إبدالية، ترابطية، توزيعية
- δ[n] محايد الالتواء؛ δ[n−n₀] تأخير نقي
- طول الخرج = N + M − 1؛ FFT يُسرّع الحساب
- FIR = h[n] منتهية؛ IIR = h[n] لانهائية عبر العودية