DSP 101
M4 · L1
الوحدة 4 — تحويل Z
من معادلات الفروق إلى تحويل Z

الالتواء يعمل، لكن الجبر أسرع. يحول تحويل Z معادلات الفروق التكرارية إلى معادلات متعددة حدود — مما يجعل تصميم المرشحات وتحليل الاستقرار سلساً.

1 / 9
DSP 101
M4 · L1
الدافع
لماذا لا نكتفي بالالتواء؟

الالتواء الزمني لانهائي لمرشحات IIR. الاستقرار يستلزم فحص كل عينة من h[n]. وتصميم المرشح شبه مستحيل بدون الأداة المناسبة.

∞
حدود IIR
جبر
Z يعطي معادلات
دائرة
اختبار الاستقرار
2 / 9
DSP 101
M4 · L1
التعريف
تحويل Z

كل عينة x[n] توزّن بـ z مرفوعة إلى −n. المتغير المركب z = rejω — على دائرة الوحدة r=1، يصبح هذا تحويل DTFT.

تحويل Z
X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n}
دائرة الوحدة
|z| = 1 → X(e^jω) = DTFT. يعمم تحويل Z على المستوى المركب بأكمله.
3 / 9
DSP 101
M4 · L1
الأزواج الشائعة
جدول التحويل
  • δ[n] ↔ 1 (جميع قيم z)
  • u[n] ↔ z/(z−1)، |z| > 1
  • aⁿu[n] ↔ z/(z−a)، |z| > |a|
  • cos(ω₀n)u[n] ↔ نسبة بأقطاب عند ±ω₀
اللبنات الأساسية
أي إشارة تتحلل إلى هذه — استخدم الخطية لجمع تحويلاتها.
4 / 9
DSP 101
M4 · L1
الخصائص
مجموعة الأدوات

ثلاث خصائص تُشغّل كل تحليل المرشحات: الخطية وإزاحة الزمن والالتواء ← الضرب.

إزاحة الزمن
\mathcal{Z}\{x[n-k]\} = z^{-k}\,X(z)
الالتواء
Z{x[n] * h[n]} = X(z)·H(z) — السبب الجوهري لسيادة تحويل Z في تحليل أنظمة LTI.
5 / 9
DSP 101
M4 · L1
التحويل
LCCDE ← دالة النقل

طبّق تحويل Z على طرفَي معادلة الفروق. كل تأخير z−k يضرب. النسبة H(z) = Y(z)/X(z) هي دالة النقل — متعددة حدود نسبية.

مثال: IIR من الدرجة الأولى
y[n] = ay[n−1] + x[n]
← H(z) = z/(z−a)
  • لا مجاميع لانهائية — فقط جبر متعددة الحدود
  • الأقطاب والأصفار تكشف سلوك المرشح
6 / 9
DSP 101
M4 · L1
الصلة بالتناظري
تحويل Z ولابلاس

التعويض z = esT يعيّن المستوى s على المستوى z. النصف الأيسر ← داخل دائرة الوحدة. المحور التخيلي ← دائرة الوحدة.

أيسر
← داخل الدائرة
jω
← دائرة الوحدة
أيمن
← خارج الدائرة
7 / 9
DSP 101
اختبار سريع

تحقّق ممّا ثبت

أربعة أسئلة من هذا الدرس. أجب لترى السبب — يظهر الشرح سواء أصبتَ أم أخطأت. ولا شيء يُسجَّل أو يُحفَظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

8 / 9
DSP 101
M4 · L1
النقاط الرئيسية
ما تعلمته
  • X(z) = Σ x[n]·z⁻ⁿ — يعمم DTFT على المستوى المركب بأكمله
  • الأزواج: δ↔1، u↔z/(z−1)، aⁿu↔z/(z−a)
  • إزاحة الزمن: تأخير k → ضرب في z⁻ᵏ
  • الالتواء في الزمن = الضرب في نطاق z
  • LCCDE → دالة نقل نسبية H(z) = Y(z)/X(z)
  • z = e^(sT) يربط لابلاس بتحويل Z
  • النصف الأيسر في s ↔ داخل دائرة الوحدة في z
الدرس القادم
منطقة التقارب (ROC): أين يتقارب مجموع تحويل Z وماذا يخبرنا ذلك عن الإشارة.
اقرأ المقال كاملاً ←
كل الدروس
9 / 9
1 / 8 كتم