الأقطاب والأصفار والاستجابة الترددية — قصص

DSP 101

M4 · L3

الوحدة ٤ — تحويل Z

الأقطاب والأصفار والاستجابة الترددية

كل مرشح منطقي هو كوكبة من الأقطاب والأصفار في المستوى المركب. مواضعها بالنسبة لدائرة الوحدة تُملي الاستجابة الترددية بالكامل — السعة والطور والاستقرار — دفعةً واحدة.

1 / 9

DSP 101

M4 · L3

التعريف

مخطط الأقطاب والأصفار

حلِّل H(z) = g · ∏(z − z_k) / ∏(z − p_k). الأصفار (دوائر ○) حيث H = 0؛ الأقطاب (إشارات ×) حيث H → ∞.

○

أصفار — فجوات

×

أقطاب — رنين

g

ثابت الكسب

2 / 9

DSP 101

M4 · L3

الاستجابة الترددية

التقييم على دائرة الوحدة

عوِّض z = e^jω: السعة = حاصل ضرب مسافات الأصفار مقسوماً على حاصل ضرب مسافات الأقطاب.

الصيغة الهندسية

|H(e^{j\omega})| = |g|\,\frac{\prod_k |e^{j\omega}-z_k|}{\prod_k |e^{j\omega}-p_k|}

3 / 9

DSP 101

M4 · L3

الحدس الهندسي

قواعد المسافات

أدِّر e^jω حول دائرة الوحدة. ترتفع وتنخفض السعة |H| مع تغيّر المسافات من الأقطاب والأصفار.

قطب قريب من الدائرة

مسافة المقام صغيرة → قمة سعة (رنين)

صفر على الدائرة

مسافة البسط = 0 → فجوة مثالية (|H| = 0)

قطب على الدائرة (r = 1)

لا يتضاءل ولا ينمو → تذبذب مستدام. مستقر حدّياً: مذبذب، لا مرشح أبداً.

تفاعلي: اسحب الأقطاب والأصفار وراقب قمم |H| وفجواتها — مُولَّد بالذكاء الاصطناعي، بالإنجليزية

4 / 9

DSP 101

M4 · L3

الاستجابة الطورية

مجموع الزوايا

∠H(e^jω) = مجموع زوايا الأصفار − مجموع زوايا الأقطاب. تأخر المجموعة = −d∠H/dω.

الطور الخطي

تصاميم FIR المتماثلة تُحقق طوراً خطياً — جميع الترددات تتأخر بالمقدار نفسه. مرشحات IIR ذات الأقطاب لا تُحقق ذلك عادةً.

5 / 9

DSP 101

M4 · L3

المرشحات الحقيقية

الأزواج المترافقة

إذا كانت h[n] حقيقية، تظهر الأقطاب والأصفار البعيدة عن المحور الحقيقي دائماً في أزواج مترافقة (p, p*).

اللبنة الأساسية

كل زوج مترافق من الأقطاب → قسم من الدرجة الثانية بمعاملات حقيقية. هذه هي وحدة التنفيذ القياسية لـIIR.

6 / 9

DSP 101

M4 · L3

مثال تصميمي

فجوة ٦٠ هرتز

ضع الأصفار على دائرة الوحدة عند ±ω₀ للحصول على فجوة مثالية. الأقطاب عند نصف القطر r تتحكم في العرض الترددي.

دالة نقل مرشح الفجوة

H(z) = \frac{z^2 - 2\cos\omega_0\,z + 1}{z^2 - 2r\cos\omega_0\,z + r^2}

7 / 9

DSP 101

اختبار سريع

تحقّق ممّا ثبت

أربعة أسئلة من هذا الدرس. أجب لترى السبب — يظهر الشرح سواء أصبتَ أم أخطأت. ولا شيء يُسجَّل أو يُحفَظ.

السؤال 1 من 0

النتيجة 0/0

8 / 9

DSP 101

M4 · L3

النقاط الرئيسية

ما تعلمته

الأقطاب (×) → رنين؛ الأصفار (○) → فجوات في الاستجابة الترددية
|H(e^jω)| = حاصل ضرب مسافات الأصفار ÷ حاصل ضرب مسافات الأقطاب
قطب قريب من دائرة الوحدة → قمة سعة عند تلك الزاوية
صفر على دائرة الوحدة → |H| = 0 عند تلك الزاوية
الطور = مجموع زوايا الأصفار − مجموع زوايا الأقطاب
مرشحات المعاملات الحقيقية: أقطاب وأصفار في أزواج مترافقة
مرشح الفجوة: أصفار على الدائرة عند ω₀، وأقطاب داخلها للتحكم في العرض

الدرس التالي

طرق التحويل العكسي لتحويل z: الكسور الجزئية والقسمة الطويلة واستعادة h[n].

اقرأ المقالة كاملة ←

كل الدروس

9 / 9