DSP 101
M9 · L2
الوحدة 9 — التحليل الطيفي
الدورية وطريقة ويلش
من الدورية المضطربة إلى تقدير PSD موثوق — كيف يُحوّل التوسيط التحليل الطيفي.
1 / 9
DSP 101
M9 · L2
المشكلة الجوهرية
عيب الدورية القاتل
الدورية (|DFT|²/N) بسيطة لكن مكسورة جوهريًا — تباينها لا يتناقص مع زيادة البيانات.
Periodogram
\hat{S}(\omega) = \frac{1}{N}\left|\sum_{n=0}^{N-1} x[n]\, e^{-j\omega n}\right|^2
الحقيقة الجوهرية
Var[Ŝ(ω)] ≈ S²(ω) بغض النظر عن N. جمع بيانات أكثر بـ ١٠× لا يُفيد — كل خانة لا تزال تمتلك تقديرًا واحدًا مضطربًا
2 / 9
DSP 101
M9 · L2
الخصائص الإحصائية
التحيّز مقابل التباين
كل مُقدِّر يُقيَّم بالتحيّز (الخطأ المنهجي) والتباين (التذبذب العشوائي). الدورية تفشل في التباين.
✓
التحيّز → 0
✗
التباين ثابت
✗
غير متسق
- غير متحيّزة مقاربًا (التحيّز يتناقص مع N)
- التباين ≈ S²(ω) — لا يتناقص مع N
- مُقدِّر غير متسق — لا يتقارب إلى الحقيقة
- الحل: توسيط تقديرات مستقلة متعددة
3 / 9
DSP 101
M9 · L2
الحل الأول (١٩٤٨)
طريقة بارتليت
قسِّم البيانات إلى K مقطع غير متداخل بطول M. احسب الدورية لكل مقطع ثم وسِّطها — التباين ينخفض بعامل K.
Bartlett
\hat{S}_B(\omega) = \frac{1}{K}\sum_{i=0}^{K-1} \frac{1}{M}\left|\sum_{n=0}^{M-1} x_i[n]\, e^{-j\omega n}\right|^2
المقايضة
M أقصر → مقاطع أكثر → تباين أقل، لكن دقة ترددية Δf = f_s/M تتراجع
4 / 9
DSP 101
M9 · L2
المعيار الصناعي (١٩٦٧)
تحسينات ويلش
طوّر ويلش طريقة بارتليت بإضافتين باتتا عالميتين: مقاطع متداخلة ودوال نافذة.
- التداخل: تتشارك المقاطع البيانات (عادةً ٥٠٪) → مقاطع أكثر → تباين أقل بدون بيانات إضافية
- النافذة: تنعيم كل مقطع بـ Hann/Hamming → يُزيل التسرّب الطيفي من الحواف الحادة
- النتيجة: تقديرات PSD أكثر سلاسة وموثوقية
- مُستخدَم في: MATLAB pwelch()، scipy.signal.welch()
5 / 9
DSP 101
M9 · L2
خيارات التصميم
ضبط معاملات ويلش
ثلاثة أزرار للتحكم في المُقدِّر — كل منها يوازن الدقة مقابل التباين:
- طول المقطع M: M أكبر → Δf أدق، لكن مقاطع أقل (تباين أعلى)
- نسبة التداخل: تداخل أكثر ← مقاطع أكثر ← تباين أقل (مكاسب متناقصة فوق ٧٥٪)
- النافذة: Hann للأغراض العامة؛ Kaiser لتحكم مرن في الفصوص الجانبية
- قاعدة عملية: Hann + ٥٠٪ تداخل لمعظم التطبيقات
- لا وجبة مجانية: البيانات الكلية تُحدد جداء الدقة × التباين
6 / 9
DSP 101
M9 · L2
في التطبيق العملي
أين تُهمّ طريقة ويلش
- قياس قاع الضوضاء: الضوضاء الحرارية، توصيف ضوضاء الطور
- مراقبة الاهتزازات: ذرى الرنين في الآلات الدوّارة
- EEG / طب حيوي: طاقة نطاق الدماغ (دلتا، ثيتا، ألفا، بيتا)
- تحليل الصوتيات: صوتيات الغرف، استجابة السماعات
- الاتصالات: كثافة طيف طاقة القناة، رسم خريطة التداخل
- معالجة الكلام: تقدير الغلاف الطيفي لبروتوكولات الترميز
7 / 9
DSP 101
M9 · L2
أبرز النقاط
ما تعلّمته
- الدورية: غير متحيّزة لكن تباين مرتفع — التباين ≈ S²(ω) بغض النظر عن N
- بارتليت: توسيط K دوريات غير متداخلة → التباين ÷ K
- ويلش: إضافة تداخل + نافذة → مقاطع أكثر، تسرّب أقل
- Hann + تداخل ٥٠٪ هو الخيار العملي الأكثر شيوعًا
- الدقة والتباين يتبادلان التأثير — المزيد من البيانات يُفيد، لكن المقايضة تبقى
- pwelch() و scipy.signal.welch() يُنفّذان ويلش افتراضيًا
9 / 9
1 / 8
صامت