DSP 101
M9 · L4
الوحدة 9 — التحليل الطيفي
التقدير الطيفي المعلمي
ما وراء حد DFT — ملاءمة نماذج الإشارة لتحقيق تقديرات طيفية فائقة الدقة.
1 / 9
DSP 101
M9 · L4
المشكلة
لماذا يفشل غير المعلمي؟
الدورية وطريقة ويلش محدودتان بـ 1/(NT) — مهما تكن المعالجة، لا يمكن الفصل بين ترددين أقرب من هذا.
- سجلات قصيرة: N صغير → دقة ترددية ضعيفة
- نغمات متقاربة: تندمج في ذروة عريضة واحدة في DFT
- الفكرة المعلمية: لائم نموذجًا (AR، فضاء جزئي) ← اشتق الطيف تحليليًا
- النموذج يفرض بنية ← إمكانية استخراج تقديرات فائقة الدقة
- المقايضة: الدقة الفائقة بثمن افتراضات النموذج
2 / 9
DSP 101
M9 · L4
النموذج الجوهري
نموذج AR(p) الانحداري الذاتي
كل عيّنة = تركيبة خطية لـ p عيّنة سابقة + ضوضاء بيضاء. يكافئ مرشح أقطاب فقط يُغذَّى بضوضاء بيضاء.
AR(p)
x[n] = -\sum_{k=1}^{p} a_k\, x[n-k] + w[n]
طيف AR
P_AR(ω) = σ²/|A(ω)|² — ذروات بالقرب من أقطاب المرشح. الدقة محدودة بدرجة النموذج ونسبة الإشارة-ضوضاء، لا بطول البيانات.
3 / 9
DSP 101
M9 · L4
ملاءمة النموذج
يول-ووكر وبورج
يول-ووكر: يربط معاملات AR بتسلسل الارتباط الذاتي. يحلّ 𝐑𝐚 = −𝐫 بخوارزمية ليفنسون-دوربين O(p²).
- يول-ووكر: يستخدم الارتباط الذاتي العيّني — بسيط وقياسي
- طريقة بورج: تُصغّر أخطاء التنبؤ الأمامية والخلفية — مُفضَّلة للسجلات القصيرة، مستقرة دائمًا
- درجة النموذج p: تُختار بمعايير AIC أو MDL أو FPE
- AIC يُبالغ في التقدير؛ MDL متناسق مقارابيًا
- قاعدة: p ≈ ضعف عدد الذروات الطيفية المتوقعة
4 / 9
DSP 101
M9 · L4
أساليب عالية الدقة
MUSIC وESPRIT
فكّك مصفوفة التغاير إلى فضاء إشارة (M قيم ذاتية كبيرة) + فضاء ضوضاء (N−M قيمة مساوية لـ σ²).
- الفكرة الجوهرية: متجهات الإرشاد عند الترددات الحقيقية عمودية على فضاء الضوضاء
- طيف MUSIC الزائف: 1/‖𝐄ₙᴴ𝐞(ω)‖² → ∞ عند الترددات الحقيقية
- ESPRIT: يستثمر ثبات الإزاحة — يستخرج الترددات مباشرةً بتحليل قيم ذاتية، لا بحث طيفي
- كلاهما يحتاج M (عدد الجيبيات) كمُدخَل مسبق
- الإشارات المتماسكة (متعددة المسارات) تُضعف الأداء — التجانس المكاني يُعالج ذلك
5 / 9
DSP 101
M9 · L4
الطيف الزائف MUSIC
معادلة MUSIC
P_MUSIC يمتلك ذروات حادة عند الترددات الجيبية الحقيقية — محدّد للترددات لا لمستويات الطاقة.
MUSIC
P_{MUSIC}(\omega) = \dfrac{1}{\mathbf{e}^H(\omega)\,\mathbf{E}_N\mathbf{E}_N^H\,\mathbf{e}(\omega)}
التفسير
𝐄_N = متجهات الضوضاء الذاتية. عند ω = ωₖ، 𝐞ᴴ(ω)𝐄_N𝐄_Nᴴ𝐞(ω) → 0 فيصبح P_MUSIC → ∞. الذروات تُحدّد الترددات، لا مستويات الطاقة.
6 / 9
DSP 101
M9 · L4
اختيار الأداة المناسبة
معلمي مقابل غير معلمي
AR/MUSIC
دقة فائقة، سجلات قصيرة، طيف خطوط
Welch
عام، عريض النطاق، لا نموذج مطلوب
- معلمي: LPC للكلام، DOA للرادار، HRV الطبي، الرنين المغناطيسي
- غير معلمي: تحليل الصوت، الفحص الطيفي الاستكشافي
- عدم مطابقة النموذج ← يمكن أن يفشل المعلمي فشلًا كارثيًا
- حين تشك: ابدأ بغير المعلمي، انتقل للمعلمي عند الحاجة
7 / 9
DSP 101
M9 · L4
أبرز النقاط
ما تعلّمته
- الأساليب المعلمية تُلائم نموذجًا أولًا ثم تحسب الطيف — تحقيق دقة فائقة تتخطى 1/(NT)
- AR(p): x[n] = −∑ aₖ x[n−k] + w[n]; الطيف = σ²/|A(ω)|²
- يول-ووكر: حلّ 𝐑𝐚 = −𝐫 بليفنسون-دوربين O(p²)؛ بورج مُفضَّل للسجلات القصيرة
- درجة النموذج عبر AIC (يُبالغ) أو MDL (متناسق)
- MUSIC: ذروات الطيف الزائف عند الترددات الجيبية بفعل تعامد فضاء الضوضاء
- ESPRIT: تقدير مباشر للترددات من فضاء الإشارة — لا بحث طيفي
- معلمي للخطوط الطيفية والسجلات القصيرة؛ غير معلمي للأطياف العريضة/المجهولة
9 / 9
1 / 8
صامت