LA 101
M01 · L03
مقدمة

التفسير الهندسي

الأرقام تنبض بالحياة عندما ترسمها. المتجهات تصبح أسهمًا، والمصفوفات تصبح تحويلات، والمعادلات تصبح صورًا. دعنا نرى الجبر الخطي من خلال عدسة الهندسة.

01 / 13
LA 101
M01 · L03
الفكرة الأساسية

المتجهات كأسهم

المتجه هو سهم له طول (مقدار) واتجاه. المتجه (3, 2) يعني: اذهب 3 لليمين و2 للأعلى. سهمان لهما نفس الطول والاتجاه هما نفس المتجه، بغض النظر عن نقطة البداية.

يُرمّز
الاتجاه
Encodes
المقدار
02 / 13
LA 101
M01 · L03
الإطار

أنظمة الإحداثيات

محاور متعامدة تلتقي عند نقطة الأصل. في البعد الثنائي: x وy. في البعد الثلاثي: أضف z للعمق. مركبات المتجه هي إحداثيات رأسه عندما يكون ذيله عند نقطة الأصل. الأرقام تصبح صورًا، والصور تصبح أرقامًا.

2D
x, y
3D
x, y, z
03 / 13
LA 101
M01 · L03
العمليات

جمع المتجهات

من الرأس إلى الذيل: ضع السهم الثاني عند رأس الأول. المجموع هو السهم من البداية إلى النهاية. أو استخدم قاعدة متوازي الأضلاع: نفس البداية، أكمل متوازي الأضلاع، القطر هو المجموع.

الملاحظة الأساسية
a + b = b + a — متوازي الأضلاع متماثل، لذا جمع المتجهات تبديلي.
04 / 13
LA 101
M01 · L03
Operations

الضرب القياسي

اضرب في 2: السهم يتضاعف. في ½: ينصّف. في −1: ينعكس اتجاهه. الضرب القياسي يُزحلق المتجه على خطه، ممددًا أو مقلصًا أو عاكسًا إياه.

  • c > 1 — يمدد المتجه
  • 0 < c < 1 — يقلص المتجه
  • c = −1 — يعكس الاتجاه
  • c = 0 — ينهار إلى نقطة الأصل
05 / 13
LA 101
M01 · L03
القياس

المقدار والطول

ما طول السهم؟ المعيار الإقليدي هو مجرد تعميم لنظرية فيثاغورس. المركبات تشكل أضلاع مثلث قائم؛ والمقدار هو الوتر.

المعيار الإقليدي
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}
06 / 13
LA 101
M01 · L03
اتجاه صرف

متجهات الوحدة

متجه مقداره بالضبط واحد. اقسم أي متجه على طوله لتطبيعه. النتيجة تحتفظ بالاتجاه لكنها تتخلى عن المقياس.

التطبيع
\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}
07 / 13
LA 101
M01 · L03
المحاذاة

هندسة الجداء النقطي

الجداء النقطي يقيس مدى محاذاة متجهين. يساوي حاصل ضرب المقدارين في جيب تمام الزاوية. متعامدان؟ صفر. نفس الاتجاه؟ الحد الأقصى.

الصيغة الهندسية
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos\theta
08 / 13
LA 101
M01 · L03
ثلاثي الأبعاد فقط

هندسة الجداء المتقاطع

الجداء المتقاطع لمتجهين يكون عموديًا على كليهما. مقداره يساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي يشكلانه. الاتجاه يتبع قاعدة اليد اليمنى.

الاتجاه
عمودي
Magnitude
المساحة
09 / 13
LA 101
M01 · L03
الفضاء القابل للوصول

التوليفات الخطية والمدى

حجّم المتجهات واجمعها: هذا هو التوليف الخطي. مجموعة كل هذه التوليفات هي المدى — الفضاء القابل للوصول.

  • متجهان غير متوازيين في البعد الثنائي يغطيان المستوى بأكمله
  • المتجهات المتوازية تغطي خطًا فقط
  • 3 متجهات غير مستوية في البعد الثلاثي تغطي كل الفضاء
10 / 13
LA 101
M01 · L03
المصفوفات كهندسة

تصور التحويلات

المصفوفة هي عملية هندسية: دوران، انعكاس، تحجيم، قص. الأعمدة تخبرك أين تهبط متجهات الأساس. هذه الرؤية الواحدة تتيح لك رؤية أي مصفوفة.

الدوران ثنائي الأبعاد
R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}
11 / 13
LA 101
اختبار سريع

تحقّق ممّا ثبت

أربعة أسئلة من هذا الدرس. أجب لترى السبب — يظهر الشرح سواء أصبتَ أم أخطأت. ولا شيء يُسجَّل أو يُحفَظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

12 / 13
LA 101
ملخص
ملخص

ماذا تعلمت

المتجهات أسهم. الجمع يتبع قاعدة متوازي الأضلاع. الجداء النقطي يقيس المحاذاة؛ والجداء المتقاطع يعطي التعامد والمساحة. المدى هو الفضاء القابل للوصول. المصفوفات هي تحويلات هندسية. هكذا يفكر المهندسون.

الدرس التالي
← الفضاءات المتجهية والجزئية
كل الدروس اقرأ المقالة
13 / 13