الفضاءات المتجهية والجزئية
قرأت كلمة «فضاء» منذ الدرس الأول، ولم يقل لك أحد ما تعنيه بالضبط. حان الوقت. الفضاء المتجهي هو أي مجموعة يتصرّف فيها الجمع والتحجيم كما تتوقّع تماماً. والفضاء الجزئي فضاء يسكن داخل فضاء أكبر — وهو التعريف الذي يستند إليه باقي هذه الدورة أكثر من أي شيء آخر.
ما هو الفضاء المتجهي؟
الفضاء المتجهي مجموعة V مع عمليتين: اجمع عنصرين من V، أو اضرب عنصراً منها في عدد حقيقي. لا بدّ أن تعود النتيجتان كلتاهما إلى داخل V. هذه هي الفكرة كلها. وما بعدها تفاصيل.
البديهيات
ثماني بديهيات، وأنت تلتزم بها كلها دون أن تفكّر فيها. مجتمعةً لا تقول إلا شيئاً واحداً: الجمع والتحجيم لا يفاجئانك.
- الانغلاق — u + v و c u يبقيان في V
- الجمع لا يهمّه الترتيب — تبديلي وتجميعي
- صفر — المتجه الصفري في V، و v + 0 = v
- معاكسات — لكل v متجه −v
- التحجيم منصف — يتوزّع، و 1 v = v
كثيرات الحدود متجهات أيضاً
خذ كل كثيرة حدود درجتها 2 أو أقل: الشكل a + bx + cx². اجمع اثنتين فتحصل على ثالثة من النوع نفسه. حجّم واحدة فتحصل على أخرى. كل بديهية تتحقّق، فهذه المجموعة فضاء متجهي — ولا سهم واحد في الأفق.
ما هو الفضاء الجزئي؟
الفضاء الجزئي مجموعة فرعية من فضاء متجهي، وهي بدورها فضاء متجهي كامل، بالجمع نفسه والتحجيم نفسه. ليست أي مجموعة فرعية — لا بدّ أن تكون مغلقة، فلا تستطيع الخروج منها بأي عملية.
الاختبار الثلاثي
لن تتحقّق من ثماني بديهيات مرة ثانية. الفضاء الأمّ يوفّرها لك. تتحقّق من ثلاثة أمور فقط، وبهذا الترتيب.
- يحتوي المتجه الصفري — هل 0 داخل S؟
- مغلق تحت الجمع — u و v في S ⇒ u + v في S
- مغلق تحت التحجيم — u في S ⇒ c u في S لكل c حقيقي
مستوى يمرّ بنقطة الأصل
متجهان في ℝ³. حرّك المؤشرين لتدوير v ولاحظ الصفيحة التي يرسمانها. سطّح v على u فينهار المستوى إلى مستقيم.
أمثلة محلولة
المثال الأول. في ℝ³، لتكن S كل متجه إحداثيّه الأخير صفر — أي المستوى xy. أجرِ الاختبار.
- الصفر؟ إحداثي (0, 0, 0) الأخير صفر. نعم.
- المجاميع؟ 0 + 0 = 0، فالمجموع يبقى مسطّحاً.
- التحجيم؟ c · 0 = 0، ويبقى مسطّحاً.
المثال المضادّ
في ℝ²، خذ المستقيم y = x + 1. هو مستقيم بكل معنى الكلمة، ورسمه لا يختلف عن أي فضاء جزئي. لكنه ليس فضاءً جزئياً — والبند الأول من الاختبار يكفي لإسقاطه.
- الصفر؟ لا: 0 ≠ 0 + 1. انتهى الاختبار.
- المجاميع؟ (0,1) + (1,2) = (1,3)، و 3 ≠ 1 + 1. خرجنا.
- قاعدة عملية — المستقيم أو المستوى لا يكون فضاءً جزئياً إلا إذا مرّ بنقطة الأصل.
المدى
رأيت المدى كصورة في الدرس الثالث: الفضاء القابل للوصول. وهذه هي الجملة التي تقف خلف الصورة — والمفيد فيها أن المدى دائماً فضاء جزئي، بلا اختبار.
الأساس والبُعد
الأساس مجموعة تولّد الفضاء دون زيادة: احذف منها متجهاً واحداً فينكمش المدى. ويتضح أن كل أساس للفضاء نفسه يحتوي العدد نفسه من المتجهات، وهذا العدد هو البُعد.
لماذا ستحتاج إليه
الوحدة الثالثة تسأل: أي المتجهات تسحقها المصفوفة إلى الصفر؟ تلك المجموعة — الفضاء الصفري — فضاء جزئي، وبُعدها هو بُعد العدم. وأعمدة المصفوفة تولّد فضاءً جزئياً ثانياً بُعده هو الرتبة. الرتبة وبُعد العدم حسابٌ على الفضاءات الجزئية.
ثلاث طرق لقول كم يبلغ
المعيار يمنح المتجه طولاً. الوحدة الحادية عشرة تعتمد على L1 وL2 باستمرار؛ والثالث مفيد بالقدر نفسه ونادراً ما يُعرّف. L2 هو الطول المستقيم من الدرس الثالث. L1 يجمع القيم المطلقة. وL∞ يأخذ أكبرها ويتجاهل الباقي.
كرة الوحدة
كرة الوحدة هي كل متجه طوله لا يزيد على 1. حرّك p ولاحظ الشكل يتغيّر: معيّن عند p = 1، ودائرة عند p = 2، ومربّع عندما يكبر p بلا حدّ.
ما تعلّمته
الفضاء المتجهي مجموعة مغلقة تحت الجمع والتحجيم — والأسهم اختيارية. والفضاء الجزئي فضاء داخل فضاء، وثلاثة اختبارات تحسم أمره: الصفر، والمجاميع، والتحجيم. المدى كل ما يمكن الوصول إليه، والأساس مجموعة مولّدة بلا زيادة، والبُعد يعدّها. وL1 وL2 وL∞ تقيس الحجم بثلاث طرق مختلفة.