LA 101
M10 · L02
الوحدة 10: الالتفاف والمرشحات

تصميم المرشحات بـ الجبر الخطي

المرشحات مصفوفات. تصميمها بشكل مثلى يعني السؤال: أي مصفوفة تنتج أفضل مخرج؟ المربعات الصغرى ومرشح وينر والخوارزميات التكيفية وتشكيل الحزمة — جميعها تجيب بنفس أدوات الجبر الخطي الأنيقة.

01 / 12
LA 101
M10 · L02
مرشح FIR

المرشح = ضرب مصفوفة-متجه

مرشح FIR ذو M نقرة بمعاملات h يُعيِّن كتلة عينات المدخل إلى مخرج عبر ضرب مصفوفة تيبليتز: y = Hx. تصميم المرشح إذن مسألة تصميم مصفوفة — اختر أفضل H.

مسألة التصميم
بالنظر إلى مدخل x ومخرج مطلوب d، أوجد متجه المعاملات h الذي يُصغّر الفرق بين Hx و d. هذا جوهر تصميم المرشح الأمثل.
02 / 12
LA 101
M10 · L02
التصميم الأمثل

تصميم المرشح بـ المربعات الصغرى

اجمع N نافذة مدخل كصفوف في مصفوفة البيانات X (بأبعاد N×M) والعينات المطلوبة في المتجه d (بحجم N×1). صغّر الخطأ المربع:

تكلفة المربعات الصغرى
J(\mathbf{h})=\|\mathbf{d}-X\mathbf{h}\|^2

هذا وعاء تربيعي في h — حد أدنى شامل فريد، يُوجَد بضبط التدرج على الصفر.

03 / 12
LA 101
M10 · L02
الحل

المعادلات القياسية

يعطي ضبط ∂J/∂h = 0 المعادلات القياسية — M معادلة خطية حلها هو المرشح الأمثل:

المعادلات القياسية
(X^T X)\,\mathbf{h}^*=X^T\mathbf{d}

XᵀX هي مصفوفة الارتباط الذاتي التجريبية. الحل يُسقط d على الفضاء العمودي لـ X — تفسير هندسي للأمثلية.

04 / 12
LA 101
M10 · L02
الأمثلية الإحصائية

مرشح وينر

عند نمذجة الإشارات كعمليات عشوائية، يُنتج تصغير متوسط MSE معادلة وينر-هوبف — النظير الإحصائي للمعادلات القياسية:

معادلة وينر-هوبف
R\,\mathbf{h}_{\mathrm{opt}}=\mathbf{p}

R مصفوفة الارتباط الذاتي للمدخل؛ p الارتباط التقاطعي مع الإشارة المطلوبة. R موجبة التحديد متماثلة تيبليتز — تُحل في O(M²) بواسطة ليفينسون-دوربن.

05 / 12
LA 101
M10 · L02
البنية الذاتية

قيم R الذاتية تحكم الأداء

لأن R موجبة التحديد متماثلة، R = QΛQᵀ. تكشف القيم الذاتية توزيع قدرة الإشارة عبر M اتجاه. رقم التكييف κ(R) = λ_max/λ_min يروي القصة كاملة:

  • κ(R) كبير: مدخل ضيق النطاق ← تصميم مرشح سيء التهيئة
  • κ(R) صغير: مدخل عريض النطاق ← حل مستقر جيد التهيئة
  • المتجهات الذاتية ذات القدرة المنخفضة تُكبّر الضوضاء في h_opt
  • التنظيم (انحدار ريدج) يُثبّت الحالات سيئة التهيئة
06 / 12
LA 101
M10 · L02
التصفية التكيفية

LMS: نزول التدرج الإنترنتي

عندما تتغير الإحصاءات بمرور الوقت، تُحدّث المرشحات التكيفية معاملاتها عبر الإنترنت بـ تقدير تدرج عينة واحدة. LMS هو نزول التدرج بتدرجات مضوضأة:

تحديث LMS
\mathbf{h}[n+1]=\mathbf{h}[n]+\mu\,e[n]\,\mathbf{x}[n]

التكلفة: O(M) لكل خطوة. لا عكس مصفوفات. تحكم سرعة التقارب κ(R) — R سيئة التهيئة تعني تقارب LMS بطيء.

07 / 12
LA 101
M10 · L02
تكيف أسرع

RLS: مربعات صغرى دقيقة عودية

تُصغّر RLS التاريخ الكامل الموزون للأخطاء. تُحدّث الارتباط الذاتي العكسي P = (XᵀX)⁻¹ بصورة عودية بواسطة نظرية عكس المصفوفة — لا عكس مصفوفة كامل في كل خطوة.

O(M)
تكلفة LMS
O(M²)
تكلفة RLS
M خطوة
تقارب RLS
08 / 12
LA 101
M10 · L02
مصفوفات الهوائيات

تشكيل الحزمة: تحسين مقيّد

تُطبّق مصفوفة هوائيات أوزانًا w على K هوائي. يُصغّر مُشكّل حزمة MVDR قدرة المخرج (كبت الضوضاء) مع الحفاظ على كسب وحدي في الاتجاه المطلوب — برنامج تربيعي مقيّد:

مُشكّل حزمة MVDR
\min_{\mathbf{w}}\;\mathbf{w}^H R_z\mathbf{w}\quad\text{s.t.}\quad\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_0)=1
09 / 12
LA 101
اختبار سريع

تحقّق ممّا ثبت

أربعة أسئلة من هذا الدرس. أجب لترى السبب — يظهر الشرح سواء أصبتَ أم أخطأت. ولا شيء يُسجَّل أو يُحفَظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

10 / 12
LA 101
أهم النقاط
ملخص

أهم النقاط

  • مرشح FIR = مصفوفة تيبليتز؛ التصميم = مربعات صغرى عبر المعادلات القياسية (XᵀX)h = Xᵀd
  • مرشح وينر: النسخة الإحصائية — Rh = p، حيث R الارتباط الذاتي، p الارتباط التقاطعي
  • رقم التكييف κ(R) يحدد متانة المرشح وسرعة التقارب التكيفي
  • LMS: O(M) لكل تحديث، خطوة تدرج بسيطة؛ RLS: O(M²) لكل تحديث، دقيق في M خطوة
  • تشكيل الحزمة تحسين تربيعي مقيّد يُحل بعكس مصفوفة واحد
11 / 12
LA 101
الدرس القادم
القادم

M10-L3: PCA وتقليل الأبعاد

صمّمنا المرشحات باختيار القيم الذاتية المثلى. الآن نوجّه هذه العدسة نحو البيانات نفسها: للمصفوفة التباينية للبيانات متجهات ذاتية (المركّبات الرئيسية) تكشف اتجاهات التباين الأقصى — لضغط البيانات عالية الأبعاد وإزالة ضوضائها وعرضها.

الدرس القادم
M10-L3: PCA وتقليل الأبعاد ←
كل الدروس اقرأ المقالة
12 / 12