اختزِل مصفوفة إلى حفنةٍ من المُركّبات الرئيسية في المِنصّة التفاعلية، وتوقَّع — قبل أن تخبرك الشاشة — كم من variance تُفسِّره أعلى k من PC، وأصغر k يُبقي 95% من التباين، ونسبة خفض الأبعاد التي يمنحها ذلك.
تحليل المُركّبات الرئيسية يُدوِّر المحاور لتنطبق على الاتّجاهات التي تتباين فيها بياناتك أكثر ما يكون. مربّع كل قيمة مفردة σi2 هو التباين على امتداد PC واحد، فتقول نسبة التباين المُفسَّر EVR(k) = (Σi≤k σi2) / (Σi σi2) كم من التباين الكلّي تُبقيه أعلى k مُركّبات. والقاعدة المعتادة تُبقي أصغر k يبلغ عتبةً — k* = min{k : EVR(k) ≥ 0.95} — ويُسقَط كل ما بعدها.
افتح المِنصّة. اختر الصورة “Sharp geometry” واترك القيم الافتراضية (الحجم 64×64، بلا ضوضاء، البذرة 1). تُسمّي كل خطوة عدد المُركّبات k التي تضبطها؛ اقرأ قراءة “الطاقة المحفوظة” — فهي نسبة التباين المُفسَّر EVR(k).
Image = Sharp geometry size = 64x64 noise = 0 seed = 1
Read: energy kept at k smallest k for 95% ratio n / k
نسبة “الطاقة المحفوظة” هي نسبة التباين المُفسَّر، وتُخبرك الرتبة العددية بعدد المُركّبات غير الصفرية أصلاً — كل رقم تتوقّعه موجودٌ على الشاشة.
اضبط k = 5 واقرأ قراءة “الطاقة المحفوظة” — نسبة التباين المُفسَّر EVR(5). لهذه الصورة 40 مُركّبة غير صفرية؛ توقَّع هل تُفسِّر أعلى 5 منها معظمَ التباين.
تُفسِّر أعلى 5 من PC 0.9764 من التباين الكلّي — أكثر من 97% — رغم أنّ 40 مُركّبة غير صفرية. يتركّز التباين في الاتّجاهات الأولى، وهذا هو كل سبب نجاح PCA.
القاعدة المعتادة في PCA تُبقي ما يكفي فقط من المُركّبات للاحتفاظ بـ95% من التباين: k* = min{k : EVR(k) ≥ 0.95}. ارفع k من 1 وراقب “الطاقة المحفوظة” تعبر العتبة. توقَّع أصغر k يبلغ 95%.
تبلغ 3 مُركّبات فقط 95% (EVR = 0.9549)، وتبلغ 2 فقط 90% (EVR = 0.9165). تُسقِط 61 من أصل 64 اتّجاهًا وتُبقي مع ذلك 95% من التباين.
الاحتفاظ بـk* = 3 من أصل 64 بُعدًا هو نسبة خفض n / k* = 64 / 3. توقَّع تلك النسبة — كم مرّةً يصير التمثيل أصغر بينما يبقى محتفظًا بـ95% من التباين.
النسبة هي 64 / 3 = 21.33× — ثلاث مُركّبات رئيسية تحلّ محلّ 64 بُعدًا أصليًّا مع الاحتفاظ بـ95% من التباين. وخفِّض العتبة إلى 90% (k = 2) فترتفع إلى 32×. هذا هو المكسب الذي وُجِد PCA لأجله.
كل ما سبق ينتظرك في المِنصّة. اختر أيّ صورة، واسحب الحجم وعدد المُركّبات k، وراقب نسبة التباين المُفسَّر، والرتبة العددية، وإعادة البناء تتحدّث دفعةً واحدة — وk صغيرة هي إسقاطٌ على أعلى PC.
- قرأتَ نسبة التباين المُفسَّر: أعلى 5 من PC تحمل 0.9764 من التباين
- وجدتَ أصغر k لعتبةٍ — 3 لـ95%، و2 لـ90%
- حوّلتَ ذلك إلى نسبة خفض أبعاد 64 / 3 = 21.33× عند 95%
- كل قيمة توقّعتها هي حساب التباين المُفسَّر الخاصّ بالعرض، لا صورة تقريبية