الرئيسية / LA 101 / M2-L1
الوحدة 2 · الدرس 1
وضع القصص

ما هي المصفوفة؟

11 دقيقة قراءة
مقال

المصفوفة واحدة من أقوى الهياكل وأكثرها انتشاراً في الرياضيات. على أبسط المستويات، هي مجرد مصفوفة مستطيلة من الأرقام مرتبة في صفوف وأعمدة. لكن هذه الفكرة البسيطة تُشفّر شيئاً أعمق بكثير: المصفوفة تمثّل تحولاً خطياً — قاعدة لتحريك، تدوير، تحجيم، أو تشويه جميع النقاط في الفضاء في آنٍ واحد.

الترميز والتشريح

المصفوفة A ذات m صفاً و n عموداً تُسمى مصفوفة m × n. كتاباتها هي a_{ij}، حيث i هو فهرس الصف و j هو فهرس العمود:

ترميز المصفوفة
A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}
A مصفوفة m×n. الكتابة a_{ij} في الصف i، العمود j. الشكل (m, n) يُسمى أبعاد المصفوفة.

بعض الأسماء الخاصة: المصفوفة المربعة لها m = n. مصفوفة بعمود واحد (n = 1) هي متجه عمود. مصفوفة بصف واحد (m = 1) هي متجه صف. مصفوفة 1×1 هي عددي.

قراءة المصفوفة كبيانات

أكثر الطرق ملموسية لفهم المصفوفات هي كبيانات منظمة. قد يمثّل كل صف ملاحظة؛ وكل عمود ميزة. جدول بيانات بـ 1,000 صف و 50 عموداً هو مصفوفة 1000×50.

مثال — درجات الطلاب: لنقُل أن لديك 4 طلاب، لكل منهم درجات في 3 مواد (رياضيات، فيزياء، إنجليزي). مصفوفة 4×3 تحتفظ بجميع البيانات. الصف 2 يحتوي درجات الطالب 2. العمود 3 يحتوي درجات جميع الطلاب في الإنجليزي. ترميز المصفوفة يعطيك لغة موجزة لهذا الهيكل.

المصفوفات كتحولات خطية

إليك المنظور الأعمق: كل مصفوفة m×n تُعرّف دالة تأخذ متجهات n-أبعادية كمدخل وتُنتج متجهات m-أبعادية كمخرج. هذه الدالة خطية — تحافظ على الجمع والضرب بعددي.

ضرب المصفوفة A في المتجه x يعطي متجهاً جديداً Ax. هذه هي العملية الأساسية في الجبر الخطي:

حاصل ضرب مصفوفة-متجه
(Ax)_i=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j
كل كتابة في متجه الخرج هي حاصل ضرب نقطي لصف من A مع x. مصفوفة m×n تأخذ متجه n-بُعد كمدخل وتُنتج متجه m-بُعد كمخرج.

مصفوفات خاصة

مصفوفة الوحدة I

مصفوفة الوحدة لها 1 على القطر و 0 في غيره. ضرب أي مصفوفة A في I يُبقي A دون تغيير — تماماً كضرب عدد في 1. لأي متجه x، I·x = x. مصفوفة الوحدة هي تحول "لا تفعل شيئاً".

مصفوفة وحدة 3×3
I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
مصفوفة الوحدة I_n هي n×n مع الأحاد على القطر. لأي مصفوفة n×n وهي A: A·I = I·A = A.

مصفوفة الصفر

مصفوفة الصفر لها جميع كتاباتها صفر. ضرب أي متجه في مصفوفة الصفر يعطي المتجه الصفري — كل شيء يتقلص إلى الأصل. جمع مصفوفة الصفر مع أي مصفوفة A يعطي A.

المصفوفات القطرية

المصفوفة القطرية لها كتابات غير صفرية فقط على القطر الرئيسي. ضرب مصفوفة قطرية في متجه يُحجّم كل مكوّن باستقلالية — إنه أبسط تحول غير تافه.

المصفوفات المتماثلة

المصفوفة A متماثلة إذا كانت A = Aᵀ (تساوي منقولتها). كثير من المصفوفات المهمة في الفيزياء والتعلم الآلي متماثلة: مصفوفات التباين المشترك، مصفوفات التجاور للرسوم البيانية غير الموجهة، المصفوفات محددة الموجب.

المنقولة

منقولة المصفوفة A، مكتوبة Aᵀ، تبادل الصفوف والأعمدة: الكتابة (i,j) في A تصبح الكتابة (j,i) في Aᵀ. إذا كانت A من الحجم m×n، فإن Aᵀ من الحجم n×m.

خصائص المنقولة: (A+B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ، (cA)ᵀ = cAᵀ، (AB)ᵀ = BᵀAᵀ (لاحظ الترتيب المعكوس!)، (Aᵀ)ᵀ = A. قاعدة الترتيب المعكوس للضرب غالباً ما تُفاجئ المبتدئين.

لماذا المصفوفات مهمة

المصفوفات تظهر في تقريباً كل مجال كمي لأنها تُشفّر بكفاءة العلاقات بين كميات متعددة في آنٍ واحد:

رسوميات الحاسوب
التدوير، التحجيم، الانتقال، والإسقاط المنظوري كلها عمليات مصفوفية تُطبَّق على متجهات إحداثيات ثلاثية الأبعاد.
التعلم الآلي
طبقات الشبكة العصبية هي ضربات مصفوفية. بيانات التدريب هي مصفوفة. تحديثات الأوزان هي عمليات مصفوفية.
الفيزياء
الحالات الكمية متجهات؛ المراقَبات مصفوفات (عوامل). مجموعات التدوير هي مجموعات مصفوفية.
الهندسة
منظومات المعادلات التفاضلية، نظرية التحكم، تحليل الدوائر — كلها تُختزل لمعادلات مصفوفية.
الإحصاء
مصفوفات التباين المشترك، الانحدار الخطي، التحليل بالمكونات الرئيسية، وتحليل التباين كلها عمليات مصفوفية جوهرياً.
نظرية الرسوم البيانية
مصفوفة التجاور ومصفوفة لابلاس تُشفّران بنية الرسم البياني. خصائص الرسم البياني تترجم لخصائص المصفوفة.

أبرز النقاط

الفضاءات المتجهية والجزئية نظرة عامة عمليات المصفوفات