LA 101
M02 · L02
الوحدة الثانية

عمليات المصفوفات

معرفة ما هي المصفوفة هي مجرد البداية. الآن نتعلم ما نفعله بها — العمليات التي تجعل المصفوفات محرك العلم الحديث.

01 / 13
LA 101
M02 · L02
الجمع

جمع المصفوفات

نجمع العناصر المقابلة. يجب أن تكون للمصفوفتين نفس الأبعاد. النتيجة لها نفس الشكل. الطرح يعمل بالطريقة نفسها. بسيط، عنصر بعنصر.

جمع المصفوفات
(A+B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}
02 / 13
LA 101
M02 · L02
التحجيم

الضرب في عدد قياسي

نضرب كل عنصر بالعدد القياسي. هذا يُحجِّم المصفوفة بشكل منتظم — تخيل تمديد أو ضغط الشبكة بالكامل. يعمل لأي شكل مصفوفة.

الضرب القياسي
(cA)_{ij} = c \cdot a_{ij}
03 / 13
LA 101
M02 · L02
عملية محورية

ضرب مصفوفة في متجه

Ax هي تركيب خطي لأعمدة A موزون بعناصر x. هذه أهم عملية في الجبر الخطي — تصف كل تحويل خطي.

طريقة تركيب الأعمدة
A\mathbf{x} = x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + \cdots + x_n\mathbf{a}_n
04 / 13
LA 101
M02 · L02
مصفوفة × مصفوفة

ضرب المصفوفات

العنصر (i,j) في AB هو حاصل الضرب الداخلي للصف i في A مع العمود j في B. لكي يعمل هذا، يجب أن تكون A من الحجم m×k و B من الحجم k×n — الأبعاد الداخلية يجب أن تتطابق.

صيغة العنصر
(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\, b_{kj}
05 / 13
LA 101
M02 · L02
خاصية مهمة

الترتيب مهم

على عكس الأعداد، ضرب المصفوفات غير تبادلي: AB ≠ BA بشكل عام. لكنه تجميعي: (AB)C = A(BC). وتوزيعي: A(B+C) = AB + AC.

تبادلي؟
لا — AB ≠ BA
تجميعي؟
نعم — (AB)C
06 / 13
LA 101
M02 · L02
عملية

المصفوفة المنقولة

قلب الصفوف والأعمدة يعطينا المنقولة AT. الخصائص الرئيسية: (AB)T = BTAT (لاحظ الانعكاس!)، و(AT)T = A.

قاعدة ضرب المنقولة
(AB)^T = B^T A^T
07 / 13
LA 101
M02 · L02
إحصاء ملخص

الأثر

أثر المصفوفة المربعة هو مجموع عناصر قطرها الرئيسي. بسيط لكن قوي: trace(AB) = trace(BA) رغم أن AB ≠ BA. يساوي مجموع القيم الذاتية.

تعريف الأثر
\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}
08 / 13
LA 101
M02 · L02
تصور الضرب

نمط صف × عمود

العنصر (i,j) = الضرب الداخلي لـالصف i من A مع العمود j من B. التمييز يُظهر كيف يتحد الصف الأول من A مع العمود الأول من B:

[
1
2
3
4
]
×
[
5
6
7
8
]
=
[
19
22
43
50
]
09 / 13
LA 101
M02 · L02
التطبيقات

لماذا يهم هذا

  • الشبكات العصبية: كل طبقة هي Ax + b
  • رسومات الحاسوب: الدوران ثلاثي الأبعاد = ضرب مصفوفات
  • الإحصاء: مصفوفة التباين = XTX
  • معالجة الإشارات: المرشحات كحاصل ضرب مصفوفات
  • الفيزياء: تطور الحالة Ax = x’
10 / 13
LA 101
M02 · L02
الحساب

تكلفة الضرب

ضرب مصفوفة m×k في مصفوفة k×n يتطلب O(mkn) عملية — تقريباً m×k×n عمليات ضرب وجمع. للمصفوفات المربعة n×n: O(n3). المصفوفات الكبيرة مُكلفة!

مربعة n×n
O(n³)
GPUs تساعد
متوازي
11 / 13
LA 101
اختبار سريع

تحقّق ممّا ثبت

أربعة أسئلة من هذا الدرس. أجب لترى السبب — يظهر الشرح سواء أصبتَ أم أخطأت. ولا شيء يُسجَّل أو يُحفَظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

12 / 13
LA 101
M02 · L02
ملخص

ما تعلمته

جمع المصفوفات عنصر بعنصر. الضرب القياسي يحجِّم جميع العناصر. حاصل ضرب مصفوفة في متجه أو في مصفوفة هو عمليات ضرب داخلي. الضرب غير تبادلي لكنه تجميعي.

الدرس القادم
التحويلات الخطية ←
كل الدروس اقرأ المقالة
13 / 13