التحويلات الخطية
المصفوفات ليست مجرد مصفوفات من الأرقام. إنها دوال على الفضاء — تأخذ متجهات كمدخل وتُنتج متجهات جديدة. هذه الدوال هي تحويلات خطية: تُدوِّر وتُقيِّس وتُقص وتُسقط الفضاء الهندسي.
ما الذي يجعله خطيًا؟
التحويل T خطي إذا استوفى خاصيتين لجميع المتجهات u, v والعدد القياسي c:
معًا: T يحفظ عمليتَي جمع المتجهات والضرب القياسي. الخطوط تبقى خطوطًا. الأصل يبقى ثابتًا.
المصفوفة = تحويل
كل تحويل خطي من ℝⁿ إلى ℝᵐ يمكن تمثيله كـ ضرب في مصفوفة m×n. وبالمقابل، كل مصفوفة تُعرِّف تحويلًا خطيًا.
الأعمدة كـ صور القاعدة
أعمدة المصفوفة A تُخبرك بالضبط أين تذهب متجهات القاعدة القياسية. العمود الأول هو وجهة e₁ = [1,0]ᵀ. العمود الثاني هو وجهة e₂ = [0,1]ᵀ. أي متجه آخر هو مجرد تركيب خطي لهذه الصور.
الدوران بزاوية θ
تدوير كل متجه في ℝ² عكس عقارب الساعة بزاوية θ هو تحويل خطي. مصفوفته:
تحويلات شائعة
- التحجيم — مصفوفة قطرية؛ تمد/تضغط المحاور باستقلالية
- الانعكاس — حول محور x: [[1,0],[0,−1]]؛ حول y: [[−1,0],[0,1]]
- القص — [[1,k],[0,1]]؛ تميل المستوى أفقيًا
- الإسقاط — على محور x: [[1,0],[0,0]]؛ يُلغي مكون y
- الهوية — [[1,0],[0,1]]؛ تُعيِّن كل متجه لنفسه
تسلسل التحويلات
تطبيق التحويل A ثم التحويل B هو نفس ضرب مصفوفتيهما: (BA)x = B(Ax). ضرب المصفوفات هو تركيب الدوال. الترتيب مهم — BA ≠ AB بشكل عام. المصفوفة الأيمن تُطبَّق أولًا.
تحويلات قابلة للعكس
التحويل قابل للعكس إذا أمكن التراجع عنه — إذا كان لكل متجه خرج متجه مدخل واحد فقط يُنتجه. هندسيًا: التحويل لا يُطوي أي بُعد. جبريًا: det(A) ≠ 0.
المحدد = مقياس المساحة
|det(A)| يساوي العامل الذي به يُقيِّس التحويل المساحات (في 2D) أو الأحجام (في 3D). إذا كان det = 2، كل منطقة تتضاعف مساحتها. إذا كان det = 0، ينهار الفضاء كله في فضاء جزئي أدنى بُعدًا.
أهم النقاط
- كل مصفوفة تحويل خطي؛ كل تحويل خطي له مصفوفة
- أعمدة A = صور متجهات القاعدة القياسية تحت التحويل
- الدوران والتحجيم والقص والإسقاط والانعكاس — كلها مصفوفات
- ضرب المصفوفات = تركيب التحويلات (تُطبَّق من اليمين لليسار)
- قابلية العكس ↔ det(A) ≠ 0 ↔ التحويل لا يُطوي الفضاء
الوحدة 3: أنظمة المعادلات
مع المصفوفات كتحويلات، حل Ax = b يصبح: إيجاد متجه المدخل x الذي تكون صورته تحت A هي b. هذه النظرة الهندسية تحوّل الحذف إلى شيء أنيق — وتمهد الطريق للاختزال الصفي والرتبة والفضاء الصفري.