ابنِ مصفوفات 2×2 واقرأ محدّدها في المِنصّة التفاعلية، وتوقَّع — قبل أن تقرأ من الشاشة — كم يُحجِّم كلٌّ منها المساحة، وهل يقلب الاتجاهية، ومحدّد تركيب مصفوفتين منها.
محدّد مصفوفة 2×2 رقمٌ واحد يحكي القصة كاملةً عمّا تفعله بالمساحة: فـ|det| هو العامل الذي تُضرب به مساحة مربّع الوحدة، والإشارة السالبة تعني قلب الاتجاهية، وdet = 0 يعني أنّ المستوى انهار إلى خطّ — فلا معكوس. وبما أنّ det(AB) = det(A)·det(B)، فإنّ تركيب التحويلات يضرب محدّداتها ببساطة.
افتح المِنصّة. تُسمّي كل خطوة المصفوفة 2×2 التي تضبطها من مُدخلاتها الأربعة a b c d؛ اكتبها في حقول المصفوفة أو اسحب مقابض الأعمدة، ثم اقرأ قراءتَي المحدّد والمساحة.
Matrix A -> [ a b ; c d ] (set the four entries each step names)
Read: det(A) and signed area of the image of the unit square
راقب قراءة المحدّد ومساحة صورة مربّع الوحدة المظلّلة في اللوحة الرئيسية — كل رقم تتوقّعه مطبوع هناك.
اضبط A = [2, 0; 0, 3] — تحجيمٌ صرف. محدّده هو ad - bc. توقَّع det(A)، ثم اقرأ قراءة المحدّد.
تُظهر القراءة det(A) = ad - bc = 2·3 - 0·0 = 6: يضرب التحويل كل مساحة في 6، فتتحوّل صورة مربّع الوحدة إلى مستطيل 2×3.
اضبط A = [-1, 0; 0, 1] — انعكاسٌ حول محور y. توقَّع المساحة ذات الإشارة لصورة مربّع الوحدة، ثم اقرأها.
المساحة ذات الإشارة للصورة هي -1: المقدار |det| = 1 يعني أنّ المساحة محفوظة، لكن الإشارة السالبة تعني قلب الاتجاهية — يُقلب المربّع كصورةٍ في مرآة.
ركّب A = [1, 1; 0, 1] (قصّ، det = 1) مع B = [2, 0; 0, 3] (det = 6). توقَّع det(AB)، ثم اقرأه.
تُظهر القراءة det(AB) = 6، وهو تمامًا det(A)·det(B) = 1·6. القصّ لا يضيف مساحة، فتركيبه مع B يُبقي عامل مساحة B دون تغيير.
كل ما سبق ينتظرك في المِنصّة. اسحب مقابض الأعمدة لبناء أيّ مصفوفة 2×2، وراقب مربّع الوحدة والشكل التوضيحي يتحوّلان لحظيًّا، وشاهِد المحدّد والمتّجهات الذاتية والتركيب تتحدّث دفعةً واحدة.
- قرأتَ محدّد مصفوفة تحجيم، det = ad - bc = 6، بوصفه عامل مساحة
- رأيتَ المساحة ذات الإشارة لانعكاس تخرج -1 — المساحة محفوظة والاتجاهية مقلوبة
- تحقّقتَ من قانون الجداء det(AB) = det(A)·det(B) = 6
- كل قيمة توقّعتها هي حساب مصفوفات العرض نفسه، لا صورة تقريبية