إعداد الأنظمة الخطية
خلف كل مسألة هندسية تبحث عن مجاهيل يكمن نظام من المعادلات الخطية. تعلّم كتابته بالصورة المصفوفية — Ax = b — هو الخطوة الأولى نحو الحل.
إطار Ax = b
لنظام من m معادلة في n مجهول تمثيلٌ مصفوفي مختصر:
A تُمثّل العلاقات، x يحمل المجاهيل، b هو الطرف الأيمن.
قراءة مصفوفة المعاملات
من المعادلات إلى المصفوفة: كل صف = معادلة واحدة، كل عمود = مجهول واحد.
2x₁ + 3x₂ = 5 و x₁ − x₂ = 1 يُعطيان بالضبط هذا النظام الثنائي.
كل معادلة خط مستقيم
في الفضاء الثنائي الأبعاد، كل معادلة خطية ax₁ + bx₂ = c تصف خطًا مستقيمًا. حل النظام يعني إيجاد نقطة تقاطع الخطوط.
المستويات في الفضاء الثلاثي
في الفضاء الثلاثي الأبعاد، كل معادلة تُعرّف مستوًى. يمكن لثلاثة مستويات أن تلتقي عند نقطة أو على خط أو ألا تلتقي أبداً.
تشفير كل شيء في [A|b]
نُضيف b عمودًا جديدًا إلى A:
هذه المصفوفة تحمل كل المعلومات حول النظام. الحذف الغاوسي يعمل مباشرة على [A|b].
المربّع والزائد والناقص
الأحجام النسبية لـ m وn تُحدد التوقعات — لكن الرتبة هي الحَكَم الحقيقي.
الأنظمة في كل مكان
- الدوائر الكهربائية: قوانين كيرشهوف ← معادلات في التيارات
- تحليل الإنشاءات: توازن القوى عند كل عقدة
- الرسوميات الحاسوبية: تقاطع الأشعة مع الأسطح
- ملاءمة البيانات: مضروب فاندرموند
- تدفق المرور: قانون الحفاظ عند كل تقاطع
الخلاصة الرئيسية
- أي نظام خطي يُكتب على الشكل Ax = b
- A مصفوفة m×n: m معادلة وn مجهول
- الهندسة: كل معادلة فضاء مقيِّد؛ الحل = تقاطعها
- ثلاث حالات: وحيد (رتبة كاملة)، لا حل (غير متسق)، لا نهائي (رتبة ناقصة)
- [A|b] تُشفّر كل شيء للحذف
M3-L2: الحذف الغاوسي
نعرف الآن كيف نُعدّ Ax = b. الدرس القادم: كيف نحلّه منهجياً. الحذف الغاوسي يُحوّل [A|b] إلى الصورة الدرجية، كاشفاً الحل مباشرة.