الحذف الغاوسي
خوارزمية الحل الأساسية للأنظمة الخطية. ابدأ بـ[A|b]، طبّق ثلاث عمليات بسيطة على الصفوف، واقرأ الإجابة مباشرةً.
عمليات الصفوف الأولية
ثلاث حركات فقط مسموحة — ولا واحدة منها تغيّر مجموعة الحلول:
- تبديل صفّين: Rᵢ ↔ Rⱼ
- ضرب صف في ثابت c ≠ 0: cRᵢ → Rᵢ
- إضافة مضاعف صف إلى آخر: Rᵢ + cRⱼ → Rᵢ
الصورة الدرجية للصفوف
شكل مثلثي علوي متدرّج. كل محور يقع يميناً عن المحور الذي يعلوه. الأصفار تملأ الجزء الأسفل الأيسر.
الصورة الدرجية المختزلة
المحاور تساوي 1. الأصفار فوق وتحت كل محور. الحل يُقرأ مباشرةً: x₁ = 2، x₂ = 3، x₃ = −1.
خطوةً خطوة
- 1. اكتب المصفوفة المعززة [A|b]
- 2. ابحث عن أقصى عمود غير صفري (عمود المحور)
- 3. بدّل الصفوف لوضع عنصر غير صفري في الأعلى
- 4. احذف العناصر أسفل المحور باستخدام الجمع
- 5. كرّر للمصفوفة الفرعية الأسفل والأيمن
- 6. التعويض العكسي (أو استمر للصورة المختزلة)
الحذف في العمل
النظام: 2x₁ + x₂ − x₃ = 8، −3x₁ − x₂ + 2x₃ = −11، −2x₁ + x₂ + 2x₃ = −3
التعويض العكسي
بعد الوصول إلى الصورة الدرجية REF، اعمل صعوداً بدءاً من المعادلة الأخيرة:
- الصف الأخير يعطي x₃ مباشرةً
- عوّض x₃ في الصف الثاني لإيجاد x₂
- عوّض كليهما في الصف الأول لإيجاد x₁
الإزاحة الجزئية
حين يكون عنصر المحور صفراً أو صغيراً جداً، بدّل الصفوف لإحضار العنصر الأكبر قيمةً مطلقةً إلى موضع المحور.
الخلاصة الرئيسية
- ثلاث عمليات صفوف تحافظ على مجموعة الحلول
- الصورة الدرجية: شكل مثلثي علوي مع محاور
- الصورة المختزلة: محاور = 1، أصفار في كل مكان آخر
- التعويض العكسي يقرأ الحل من الصورة الدرجية
- الإزاحة الجزئية تضمن الاستقرار العددي
M3-L3: أنواع الحلول
الحذف الغاوسي لا يكشف الإجابة فحسب — بل يكشف أيضاً متى لا توجد إجابة أو متى توجد إجابات لا نهائية. القادم: المتغيرات الحرة والحلول الوسيطية والصلة بالرتبة.