أنواع الحلول
الحذف الغاوسي يكشف أكثر من مجرد الإجابة — يُخبرك إذا كان النظام له حل واحد، أو لا حل، أو حلول لا نهائية. المفتاح هو الرتبة.
لكل نظام مصير واحد
لا توجد حالة رابعة. كل نظام خطي Ax = b ينتمي بالضبط لإحدى هذه الثلاث — والصورة الدرجية المختزلة تُخبرك أيّها.
ما هي الرتبة؟
rank(A) = عدد مواضع المحاور = أبعاد المعلومات. الأعمدة بلا محاور = متغيرات حرة. عددها = n − rank(A).
اختبار الاتساق
النظام Ax = b متسق إذا وفقط إذا:
إذا أضاف b محورًا جديدًا — مُنشئًا صفًّا [0 0 … 0 | c] حيث c ≠ 0 — فالنظام يقول "0 = c". مستحيل. لا حل.
صف التناقض
- الصورة الدرجية المختزلة تحتوي صفًّا [0 0 … 0 | c]، c ≠ 0
- يقرأ هذا: 0 = c — تناقض
- rank([A|b]) > rank(A)
- هندسيًا: المستويات لا تتشارك نقطة
- b يقع خارج فضاء عمود A
الرتبة الكاملة
rank(A) = n. كل عمود محوري. كل متغير محدد. A قابلة للعكس وx* = A⁻¹b.
المتغيرات الحرة
rank(A) < n والنظام متسق. كل عمود غير محوري يُعطي متغيرًا حرًا. مجموعة الحلول خط أو مستوى أو فضاء جزئي أعلى.
خاص + متجانس
الحل الكامل لـ Ax = b دائمًا هو:
x_p: أي حل خاص (اضبط المتغيرات الحرة = 0). x_h: الحل العام لـ Ax = 0 (الفضاء العدمي). بُعد الفضاء العدمي = n − rank(A).
النقاط الأساسية
- ثلاثة أنواع للحلول فقط وليس أكثر
- اختبار الاتساق: rank(A) = rank([A|b])
- حل وحيد: rank(A) = n (رتبة عمودية كاملة)
- حلول لا نهائية: متسق + rank(A) < n
- المتغيرات الحرة = n − rank(A)
- الحل العام = خاص + فضاء عدمي
M3-L4: التطبيقات
من النظرية إلى التطبيق — اكتشف كيف تُحرّك الأنظمة الخطية تحليل الدوائر الكهربائية وتدفق الشبكات وملاءمة البيانات. مسائل حقيقية ومصفوفات حقيقية وحلول حقيقية.