تطبيقات الأنظمة الخطية
الدوائر والكيمياء والمرور والبيانات — كل قانون توازن في الهندسة هو صف في مصفوفة. الحذف الغاوسي هو المحلول العالمي.
من العالم إلى المصفوفة
- حدّد الكميات المجهولة
- اكتب كل قانون توازن أو حفظ
- كل قانون يصبح صفًا في A
- كل مجهول يصبح عمودًا
- حلّ Ax = b بالحذف الغاوسي
الدوائر الكهربائية
KCL: التيارات الداخلة = الخارجة عند كل عقدة.
KVL: مجموع فروق الجهد حول أي حلقة = صفر.
موازنة الكيمياء
حفظ كل نوع ذرة يُعطي معادلة خطية في المعاملات الكيميائية.
نظام متجانس Ax = 0. متغير حر واحد (عامل التكبير). الفضاء العدمي يُعطي المعاملات المتوازنة: 2، 7، 4، 6.
تدفق الشبكات
- الداخل = الخارج عند كل عقدة
- معادلة واحدة لكل تقاطع
- مجهول واحد لكل حافة (شارع / أنبوب / رابط)
- مجموع الداخل = مجموع الخارج زائد
- المتغيرات الحرة = مرونة التوجيه
الضبط بالمربعات الصغرى
نقاط بيانات أكثر من المجاهيل ← نظام زائد التحديد Ax = b بلا حل دقيق. قلّل ||Ax − b||² بدلًا من ذلك.
الانحدار الخطي
ضبط y = mx + c على n نقطة: ابنِ A بصفوف [xᵢ 1]، و b بمدخلات yᵢ. المعادلات الطبيعية تُعطي أفضل ميل وتقاطع.
مرشحات الإشارات
مرشح FIR: y[n] = h₀x[n] + h₁x[n−1] + … + h_{L−1}x[n−L+1]
مواصفات أكثر من المعاملات؟ استخدم المربعات الصغرى للمرشح الأفضل ضبطًا.
النقاط الرئيسية
- قوانين الحفظ ← صفوف في مصفوفة
- KCL + KVL يُعطيان التيارات من طوبولوجيا الدائرة
- الموازنة الكيميائية تعيش في الفضاء العدمي
- تدفق الشبكات: متسق وغالبًا غير محدد
- زائد التحديد؟ استخدم AᵀAx̂ = Aᵀb
- تصميم مرشح FIR = نظام خطي في المعاملات
الوحدة 4: القيم الذاتية
لقد أتقنت صياغة الأنظمة الخطية وحلّها. التالي: المتجهات الخاصة التي تمتد بها المصفوفة فحسب — المتجهات الذاتية — والبنية العميقة التي تكشفها.