تطبيقات الأنظمة الخطية

من التجريد إلى العالم الحقيقي

يتبع كل تطبيق في هذا الدرس نفس القالب: حدّد الكميات المجهولة، اكتب قوانين التوازن أو الحفظ التي تربطها، ثم نظّم تلك القوانين في صورة معادلة مصفوفية Ax = b. بعد ذلك يتولى الحذف الغاوسي بقية العمل.

Electrical Engineering

تحليل الدوائر الكهربائية

قوانين كيرشهوف للتيار والجهد تُنتج معادلة واحدة لكل عقدة وحلقة — نظام في التيارات الفرعية.

Chemistry

موازنة المعادلات الكيميائية

حفظ كل نوع من الذرات يمثل قيدًا خطيًا على المعاملات الكيميائية.

Operations Research

تدفق الشبكات

حفظ التدفق عند كل عقدة — ما يدخل التقاطع يساوي ما يخرج منه — نظام خطي في تدفقات الحافات.

Data Science

الضبط بالمربعات الصغرى

حين تتجاوز نقاط البيانات عدد المجاهيل، تُعطي المعادلات الطبيعية الحل الأمثل.

الدوائر الكهربائية: قوانين كيرشهوف

تصف أي دائرة مقاومية بشكل كامل قانونان من قوانين كيرشهوف. قانون التيار (KCL): مجموع التيارات الداخلة إلى أي عقدة يساوي مجموع الخارجة منها — الشحنة محفوظة. قانون الجهد (KVL): مجموع فروق الجهد حول أي حلقة مغلقة يساوي صفرًا — الطاقة محفوظة.

لدائرة بـ n عقدة وm حلقة مستقلة، تُنتج هذه القوانين منظومة معادلات. المجاهيل هي التيارات الفرعية I₁, I₂, …, Iₖ. كل مقاومة تُسهم بحد IᵢRᵢ في معادلات الجهد (قانون أوم)، وتظهر مصادر التيار والبطاريات في الطرف الأيمن.

مثال بثلاثة أفرع

لتكن دائرة ببطارية 12V وثلاثة مقاومات R₁ = 2Ω وR₂ = 3Ω وR₃ = 6Ω مُرتّبة بحيث تتشارك R₂ وR₃ عقدة وسطى. بتعيين التيارات I₁ وI₂ وI₃:

KCL عند العقدة الوسطى: I₁ = I₂ + I₃
KVL للحلقة الخارجية: 12 = 2I₁ + 3I₂
KVL للحلقة الداخلية: 3I₂ = 6I₃

الدائرة كنظام مصفوفي

\begin{bmatrix}1&-1&-1\\2&3&0\\0&3&-6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_1\\I_2\\I_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\12\\0\end{bmatrix}

تتحول معادلات كيرشهوف الثلاث إلى معادلة مصفوفية واحدة. يُعطي الحذف الغاوسي: I₁ = 3A وI₂ = 2A وI₃ = 1A. كل عنصر في A هو قيمة مقاومة أو ±1 من موازنة التيار.

لماذا يعمل هذا؟

ينتج KCL عند كل عقدة وKVL لكل حلقة مستقلة بالضبط بقدر المعادلات المستقلة ما يساوي عدد التيارات المجهولة — شريطة استخدام العدد الصحيح من الحلقات المستقلة. المصفوفة الناتجة دائمًا متسقة وعادةً لها حل وحيد لدائرة مصممة بشكل صحيح.

موازنة المعادلات الكيميائية

يجب أن تكون المعادلة الكيميائية متوازنة: عدد ذرات كل عنصر متساوٍ على الطرفين. المعاملات الكيميائية (الأرقام أمام كل جزيء) هي المجاهيل. يُنتج حفظ كل نوع عنصر معادلة خطية واحدة.

احتراق الإيثان

لتكن: a C₂H₆ + b O₂ → c CO₂ + d H₂O. نحتاج إيجاد الأعداد الصحيحة الموجبة a وb وc وd. حفظ كل عنصر:

الكربون: 2a = c
الهيدروجين: 6a = 2d
الأكسجين: 2b = 2c + d

هذا نظام متجانس Ax = 0 بأربعة مجاهيل وثلاث معادلات — إذن rank(A) = 3 والبُعد العدمي = 1. يوجد متغير حر واحد: بوضع a = 1، يكون الحل الوحيد (حتى عامل التكبير): a = 2، b = 7، c = 4، d = 6، مما يُعطي المعادلة المتوازنة: 2 C₂H₆ + 7 O₂ → 4 CO₂ + 6 H₂O.

نظام الموازنة

\begin{bmatrix}2&0&-1&0\\6&0&0&-2\\0&2&-2&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}

بوضع a = 2 متغيرًا حرًا والحل، نحصل على المعاملات المتوازنة. الفضاء العدمي لهذه المصفوفة يحتوي على جميع مضاعفات متجه الموازنة — وهذا يعني فيزيائيًا أنه يمكن ضرب جميع المعاملات بنفس العدد الصحيح وتبقى المعادلة متوازنة.

مسائل تدفق الشبكات

في أي شبكة — حركة المرور، حزم الإنترنت، سلاسل الإمداد، أنابيب المياه — يُحفظ التدفق عند كل عقدة: التدفق الداخل يساوي الخارج. نسمّي التدفق في كل حافة متغيرًا مجهولًا. عند كل عقدة داخلية نكتب: مجموع التدفقات الداخلة = مجموع الخارجة. هذا يُنتج مباشرةً نظامًا خطيًا.

شبكة مرور بأربع عقد

افرض أن كتلة مدينة بها أربعة تقاطعات A وB وC وD بشوارع ذات اتجاه واحد. تدفقات معروفة تدخل عند A (100 سيارة/ساعة) وB (80 سيارة/ساعة)، وتدفقات معروفة تخرج عند C (90 سيارة/ساعة) وD (90 سيارة/ساعة). التدفقات x₁ وx₂ وx₃ وx₄ على الشوارع الداخلية مجهولة.

حفظ التدفق عند كل تقاطع يُعطي أربع معادلات. ستكون إحداها زائدة (التدفق الداخل الكلي = الخارج الكلي مضمون)، مما يُبقي ثلاث معادلات مستقلة في أربعة مجاهيل — متسق مع متغير حر واحد. هذا يعني أن حركة المرور يمكن توجيهها بطريقة تُحقق الحفظ بمتغير تحكم واحد حر.

مسائل التدفق غير المحددة

أنظمة تدفق الشبكات غالبًا ما تكون غير محددة — الشوارع أكثر من التقاطعات، فـ rank(A) < n. المتغيرات الحرة تمثل خيارات التصميم: أي المسارات نُفضّل. المجموعة الكاملة من الحلول الممكنة (جميع توزيعات التدفق غير السالبة التي تحقق الحفظ) هي تقاطع فضاء الحلول الإيني مع قيود عدم السالبية — وهذه هي نقطة البداية للبرمجة الخطية.

الضبط بالمربعات الصغرى: مقدمة

عمليًا، نادرًا ما تُحقق بيانات القياس أي نموذج خطي بشكل تام. إذا حاولنا ضبط m نقطة بيانات بنموذج يحتوي n معاملًا (m > n)، نحصل على نظام زائد التحديد Ax = b بلا حل دقيق — لا يوجد x يجعل جميع المعادلات الـm صحيحة في آن واحد.

حل المربعات الصغرى يُقلّل من مجموع مربعات البواقي ||Ax − b||². هندسيًا، نُسقط المتجه b على فضاء عمود A. يُحقق الحل الأمثل x̂ المعادلات الطبيعية:

المعادلات الطبيعية

A^T A\,\hat{x} = A^T b

Aᵀb هو إسقاط b على فضاء عمود A. حين تكون AᵀA قابلة للعكس (وهو الحال عندما تكون لـA رتبة عمودية كاملة)، يكون حل المربعات الصغرى وحيدًا: x̂ = (AᵀA)⁻¹Aᵀb. تُسمى المصفوفة (AᵀA)⁻¹Aᵀ الشبه معكوس لـA.

الانحدار الخطي كمربعات صغرى

ضبط خط y = mx + c على n نقطة بيانات (x₁,y₁), …, (xₙ,yₙ) هو مسألة مربعات صغرى. ابنِ المصفوفة A بصفوف [xᵢ 1] والمتجه b بمدخلات yᵢ. متجه المجاهيل هو [m, c]ᵀ. النظام Ax = b زائد التحديد (n ≥ 2 معادلة في 2 مجهول)، والمعادلات الطبيعية تُعطي ميل وتقاطع أفضل ضبط بصورة مغلقة.

الخط الأفضل ضبطًا

\begin{bmatrix}\sum x_i^2 & \sum x_i \\ \sum x_i & n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}m\\c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sum x_i y_i\\ \sum y_i\end{bmatrix}

تتحول المعادلات الطبيعية للضبط الخطي بمعاملين إلى نظام 2×2. يُعطي الحل الميل m والتقاطع c اللذين يُقلّلان مجموع مربعات المسافات الرأسية من نقاط البيانات إلى الخط.

معالجة الإشارات: تصميم المرشحات

مرشح الاستجابة النبضية المحدودة (FIR) يحسب كل عينة خرج كمجموع موزون للعينة الحالية والماضية: y[n] = h₀x[n] + h₁x[n−1] + … + h_{L−1}x[n−L+1]. معاملات المرشح h₀, …, h_{L−1} هي المجاهيل.

إذا أردنا أن ينتج المرشح قيم خرج محددة لمجموعة من مدخلات الاختبار، فإن كل حالة اختبار تُعطي معادلة واحدة. يكفي عدد كافٍ من حالات الاختبار لتوليد نظام مربع أو زائد التحديد للمعاملات. والأكثر شيوعًا، أن المتطلبات في نطاق التردد (تمرير ترددات معينة، رفض أخرى) تتحول مباشرةً إلى قيود خطية على المعاملات.

من المتطلبات إلى المصفوفة

إلزام استجابة المرشح الترددية H(f) بقيم مستهدفة عند L تردد محدد يُنتج L معادلة في L مجهول — نظام خطي مربع بالضبط. إذا كانت القيمة المستهدفة قابلة للتحقيق تمامًا، يجد الحذف الغاوسي المعاملات. وإن لم تكن (قيود ترددية أكثر من المعاملات)، تجد طريقة المربعات الصغرى المرشح الأفضل ضبطًا بالمعنى L². هذا هو أساس تصميم المرشحات الرقمية في معالجة الإشارات.

الخيط المشترك

عبر جميع هذه التطبيقات، سير العمل متطابق:

حدّد المجاهيل — التيارات، المعاملات، التدفقات، المعاملات.
اكتب قوانين التوازن — حفظ الشحنة، الذرات، التدفق، أو تقليل الخطأ.
جمّع Ax = b — كل قانون يصبح صفًا؛ كل مجهول يصبح عمودًا.
صنّف وحلّ — هل النظام مربع، زائد التحديد، أم ناقص التحديد؟ طبّق الحذف الغاوسي أو المعادلات الطبيعية أو الحل البارامتري بحسب الحالة.

النظرية من الدروس الثلاثة السابقة — صياغة الأنظمة، والحذف، وأنواع الحلول — هي بالضبط ما يجعل كل هذه التطبيقات قابلة للحل. الجبر الخطي ليس متطلبًا سابقًا للهندسة؛ بل هو اللغة التي كُتبت بها الهندسة.

الخلاصة الرئيسية

قوانين الحفظ في الفيزياء والكيمياء والهندسة هي معادلات خطية — ومجموعها هو نظام مصفوفي. قوانين كيرشهوف تُنتج متجه التيار من طوبولوجيا الدائرة. الموازنة الكيميائية تجد الفضاء العدمي لمصفوفة حفظ الذرات. تدفق الشبكات يستخدم معادلات كيرشهوف بمتغيرات حرة تمثل مرونة التوجيه. حين يتجاوز عدد البيانات المجاهيل، تُعطي المعادلات الطبيعية AᵀAx = Aᵀb الحل الأمثل — أساس الانحدار وتصميم المرشحات. الأداة الرياضية دائمًا واحدة: Ax = b، حلّل الرتبة، حلّ.