LA 101
M04 · L04
الوحدة 4: القيم الذاتية

M4-L4: تطبيقات القيم الذاتية

القيم الذاتية تُشغّل محرك البحث Google، وتضغط بياناتك، وتتنبأ بالسلوك الجماعي، وتمنع الجسور من الرنين. النظرية تلتقي بالعالم الحقيقي.

01 / 11
LA 101
M04 · L04
PageRank من Google

المتجه الذاتي المهيمن

صوِّر الويب كرسم بياني: الصفحات عقد، والروابط حواف موجَّهة. مصفوفة Google M هي مصفوفة ماركوف تُحوّل توزيع "قافز عشوائي". متجه PageRank r هو المتجه الذاتي لـ M المقابل لـ λ=1 — التوزيع الثابت الذي يصف وقت البقاء النسبي في كل صفحة.

PageRank Formula
\mathbf{r}=M\mathbf{r},\quad M=dA+\frac{1-d}{n}\mathbf{1}\mathbf{1}^T
02 / 11
LA 101
M04 · L04
خوارزمية PageRank

تكرار القدرة

  • ابدأ بمتجه موحد: r₀ = [1/n, …, 1/n]ᵀ
  • اضرب في M بشكل متكرر: rₖ₊₁ = Mrₖ
  • طبِّع كل خطوة، r ← r/‖r‖، ليبقى متجهًا احتماليًا
  • يتقارب إلى المتجه الذاتي المهيمن (λ = 1) في نحو 50 تكرارًا
  • تستخدمه Google على مليارات الصفحات
03 / 11
LA 101
M04 · L04
تحليل المكونات الرئيسية

PCA: قيم ذاتية لمصفوفة التباين

مصفوفة التباين المشترك Σ حقيقية متماثلة وموجبة شبه نهائية، فهي قابلة للتقطير المتعامد دائمًا: Σ = QDQᵀ. كل قيمة ذاتية λᵢ تُقيس مقدار التباين في اتجاه متجهها الذاتي؛ والمتجهات الذاتية — متعامدة ومرتبة بحسب λ — هي المحاور الرئيسية للبيانات.

PCA Decomposition
\Sigma\mathbf{q}_i=\lambda_i\mathbf{q}_i,\quad \Sigma = Q D Q^T
04 / 11
LA 101
M04 · L04
قوة الضغط

ضغط بـ k مكوّن

اختَر أكبر k قيمة ذاتية — المكونات الأولى تُفسّر معظم التباين. أسقِط البيانات على متجهاتها الذاتية للحصول على تمثيل مُضغط يحافظ على المعلومات الجوهرية.

90%
التباين المحفوظ
10×
الضغط
1M→100K
الأبعاد
05 / 11
LA 101
M04 · L04
سلاسل ماركوف

التوزيع المستقر

مصفوفة الانتقال P تُعطي احتمالات الحالة التالية. على المدى الطويل، يستقر التوزيع عند π — المتجه الذاتي لمصفوفة P عند القيمة الذاتية 1؛ وPπ = π تعني أن خطوة أخرى لا تغيّر التوزيع. مثال نموذج الطقس: P = [[0.9, 0.5], [0.1, 0.5]] تُعطي π = [5/6, 1/6] — أي 83% من الأيام مشمسة.

Stationary Distribution
P\boldsymbol{\pi}=\boldsymbol{\pi},\quad\sum_i\pi_i=1
  • القيمة الذاتية 1 موجودة دائمًا متى جمع كل عمود من P إلى 1
  • بيرون-فروبينيوس: للسلسلة غير القابلة للتجزئة توزيع π وحيد؛ وإن كانت غير دورية أيضًا تقارب إليه أي بداية
06 / 11
LA 101
M04 · L04
الاهتزاز الهيكلي

الترددات الطبيعية

معادلة الاهتزاز الحر Kx = ω²Mx هي مسألة قيم ذاتية معممة. كل قيمة ذاتية λᵢ تُعطي تردداً طبيعياً ωᵢ = √λᵢ؛ المتجه الذاتي يُعطي شكل الوضع — أنماط الحركة الطبيعية للهيكل.

Structural Vibration
K\mathbf{x}=\omega^2 M\mathbf{x},\quad\omega_i=\sqrt{\lambda_i}
07 / 11
LA 101
M04 · L04
الرنين والهندسة

الرنين والإخفاقات الكارثية

  • الإثارة عند التردد الطبيعي ← تضخيم كارثي للاهتزازات
  • جسر تاكوما ناروز (1940) انهار بسبب الرنين مع الرياح
  • تحليل القيم الذاتية يكشف الترددات الخطرة مسبقًا
  • على المهندسين ضمان ألا تتقاطع الترددات الطبيعية مع الإثارة المتوقعة
  • ويُضاف التخميد لكبح ذُرى الرنين في التصاميم الحرجة
08 / 11
LA 101
اختبار سريع

تحقّق ممّا ثبت

أربعة أسئلة من هذا الدرس. أجب لترى السبب — يظهر الشرح سواء أصبتَ أم أخطأت. ولا شيء يُسجّل أو يُحفظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

09 / 11
LA 101
M04 · L04
إيجاد المتجه الذاتي المهيمن

تكرار القدرة

اضرب في A وطبِّع بشكل متكرر. كل مرور يُحجّم كل مركبة ذاتية بقيمتها الذاتية، فتكسب المركبة في اتجاه v₁ عاملًا |λ₁/λ₂| على أقرب منافسيها في كل خطوة — أي إن ما بقي من الاتجاهات الأخرى يتقلّص بعامل |λ₂/λ₁| كل خطوة. وهي قابلة للتوسّع إلى مليارات الصفوف.

Power Iteration
\mathbf{x}_{k+1}=\frac{A\mathbf{x}_k}{\|A\mathbf{x}_k\|} \xrightarrow{k\to\infty} \mathbf{v}_1
|λ₁/λ₂|
الكسب في كل خطوة
|λ₂/λ₁|
عامل الخطأ في كل خطوة
O(n²)
لكل تكرار، A كثيفة
10 / 11
LA 101
ما يلي
اكتملت الوحدة 4

الوحدة 4 مكتملة

أتقنت قصة القيم الذاتية: من حل Ax=λx، إلى إيجاد المتجهات الذاتية، إلى التقطير، إلى التطبيقات الحقيقية. الجبر الخطي حيّ في العالم.

القادم
التالي: الوحدة 5 ←
كل الدروس اقرأ المقالة
11 / 11