LA 101
M05 · L01
الوحدة 5: التعامد
المتجهات المتعامدة والإسقاطات
حين يلتقي متجهان بزاوية قائمة فإنهما لا يتقاسمان أي معلومة. التعامد هو الأساس الهندسي للإسقاطات والمربعات الصغرى وتحويل فورييه.
01 / 11
LA 101
M05 · L01
التعريف
الضرب النقطي الصفري
يكون المتجهان متعامدَين حين يكون ضربهما النقطي صفراً — يلتقيان بزاوية 90° في أي بُعد.
شرط التعامد
\mathbf{v}^T\mathbf{w}=0
02 / 11
LA 101
M05 · L01
لماذا يهم
فيثاغورس في n بُعد
- الضرب النقطي = ||v|| ||w|| cos θ، لذا v·w = 0 تعني θ = 90°
- إذا كان v ⊥ w فإن ||v + w||² = ||v||² + ||w||²
- المتجه الصفري متعامد مع كل متجه
- متجهات الأساس القياسي متعامدة مع بعضها
03 / 11
LA 101
M05 · L01
المتمم المتعامد
W و W⊥
المتمم المتعامد W⊥ للفضاء الجزئي W يحوي كل المتجهات العمودية على كل متجه في W.
dim W
الفضاء الجزئي
+
dim W⊥
المتمم
= n
المجموع
04 / 11
LA 101
M05 · L01
الإسقاط على خط
صيغة الظل
إسقاط b على الخط المار بـ a
proj = (aᵀb / aᵀa) · a
الفكرة الرئيسية
الخطأ b − proj عمودي على a
05 / 11
LA 101
M05 · L01
مصفوفة الإسقاط
P = aaᵀ / aᵀa
مصفوفة الإسقاط P تُحوّل أي متجه إلى إسقاطه على الخط المار بـa.
الخاصية الأولى
P² = P (الإسقاط مرتين = مرة واحدة)
الخاصية الثانية
Pᵀ = P (مصفوفة متماثلة)
06 / 11
LA 101
M05 · L01
الإسقاط على فضاء جزئي
المعادلة الطبيعية
مصفوفة الإسقاط
P=A(A^TA)^{-1}A^T
حل AᵀA x̂ = Aᵀb لإيجاد إحداثيات الإسقاط. عندما تكون لـA أعمدة متعامدة ذات وحدة Q، يُبسَّط هذا إلى P = QQᵀ.
07 / 11
LA 101
M05 · L01
التحليل المتعامد
b = p + e
- كل متجه يتجزأ بشكل فريد: b = p + e
- p = Pb يقع في الفضاء الجزئي W
- e = (I−P)b يقع في المتمم W⊥
- القطعتان متعامدتان: p · e = 0
- I − P هي إسقاط على W⊥
08 / 11
LA 101
M05 · L01
لماذا يهم هذا
في كل مكان في الرياضيات
- المربعات الصغرى — أقرب نقطة في فضاء جزئي
- غرام-شميت — بناء أساس متعامد خطوة خطوة
- تحليل QR — تحليل أي مصفوفة
- تحويل فورييه — أساس تردد متعامد
- معالجة الإشارات — إسقاطات على دوال جيبية
10 / 11
LA 101
ما التالي
اكتمل الدرس الأول
M5-L2: عملية غرام-شميت
أتقنت التعامد والإسقاط. التالي: عملية غرام-شميت — خوارزمية لبناء أساس متعامد من أي مجموعة من المتجهات المستقلة خطياً.
11 / 11