عملية غرام-شميت
بإعطاء أي متجهات مستقلة خطياً، تبني غرام-شميت أساساً متعامداً موحّداً — اتجاه واحد في كل مرة، بطرح ما تعرفه مسبقاً.
من المائل إلى المتعامد
المتجهات الحقيقية نادراً ما تكون عمودية. غرام-شميت تحوّل أي أساس إلى أساس متعامد موحّد — نفس الفضاء الجزئي، هندسة نظيفة.
ثلاث خطوات تتكرر
- خذ المتجه التالي من المدخلات vₖ
- اطرح إسقاطاته على q₁, …, qₖ₋₁
- وحّد المتبقي لطول الوحدة
- كرّر لكل متجه جديد
اطرح كل إسقاط
كل ضرب داخلي qⱼᵀvₖ يقيس مقدار vₖ الكامن في qⱼ. طرحها جميعاً يُبقي متجهاً متعامداً مع كل ما سبق.
أول متجهَين
A = QR
تُنتج غرام-شميت على أعمدة A تحليل QR — Q بأعمدة متعامدة موحّدة، وR مثلثية علوية.
البنية التسلسلية
كل vₖ يتضمن فقط q₁ إلى qₖ (المتجهات السابقة لا ترى اللاحقة). هذا "الاعتماد أحادي الاتجاه" يجعل R مثلثية علوية.
غرام-شميت المعدّلة
- غرام-شميت الكلاسيكية تراكم أخطاء التقريب
- المعدّلة تُحدّث المتجه الجاري بعد كل طرح
- نفس الرياضيات، سلوك أفضل بكثير للفاصلة العائمة
- MGS هي المعيار عملياً (LAPACK, NumPy)
P = QQᵀ
بعد الحصول على أساس متعامد موحّد Q، الإسقاط لا يحتاج عكس مصفوفة. فقط حواصل ضرب نقطية.
- المربعات الصغرى — حلّ بالإحلال العكسي على R
- القيم الذاتية — خوارزمية تكرار QR
- متسلسلة فورييه — إسقاطات على أساس جيبي
- معالجة الإشارات — حواصل ضرب نقطية سريعة ومستقرة
M5-L3: المصفوفات المتعامدة
أتقنتَ بناء الأسس المتعامدة الموحّدة بغرام-شميت. التالي: المصفوفات التي تكون أعمدتها متعامدة موحّدة — عائلة خاصة بخصائص رائعة للدورانات والانعكاسات.