LA 101
M05 · L03
الوحدة 5: التعامد

المصفوفات المتعامدة

حين تكون أعمدة المصفوفة متعامدة موحّدة، يصبح منقولها معكوسها — وتحفظ كل طول وزاوية في الفضاء.

01 / 10
LA 101
M05 · L03
التعريف

QTQ = I

المصفوفة المربعة Q متعامدة إذا كانت أعمدتها متعامدة موحّدة. الشرط QTQ = I يُرمّز لحقيقتين: أطوال وحدة في القطر، وحواصل ضرب صفرية خارجه.

Defining Property
Q^TQ = I \quad\Longleftrightarrow\quad Q^{-1}=Q^T
02 / 10
LA 101
M05 · L03
المعكوس المجاني

Q−1 = QT

عكس مصفوفة عامة يكلّف O(n³). للمصفوفة المتعامدة Q، المعكوس هو المنقول فقط. حل Qx = b يصبح x = QTb ببساطة.

O(n³)
عكس عام
مقابل
 
O(n²)
عكس QT
03 / 10
LA 101
M05 · L03
الهندسة محفوظة

الحركات الصلبة

المصفوفات المتعامدة تحفظ الأطوال والزوايا. الضرب بـQ يدوّر الفضاء أو يعكسه — لكنه لا يمطّطه أبداً.

  • ‖Qx‖ = ‖x‖ — الطول محفوظ
  • (Qx)·(Qy) = x·y — حاصل الضرب النقطي محفوظ
  • الزاوية بين Qx وQy = الزاوية بين x وy
  • det(Q) = ±1 دائماً
04 / 10
LA 101
M05 · L03
مثال معياري

الدوران بزاوية θ

مصفوفة الدوران ثنائي الأبعاد
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}
التحقق الأساسي
R(θ)ᵀ = R(−θ) = R(θ)⁻¹ · det = +1 (دوران حقيقي)
05 / 10
LA 101
M05 · L03
الانعكاسات

انعكاس هاوسهولدر

الانعكاس حول الفضاء المتعامد مع متجه الوحدة u: H = I − 2uuᵀ.

Householder
H = I - 2\mathbf{u}\mathbf{u}^T,\quad\|\mathbf{u}\|=1

H متماثلة، H² = I، det(H) = −1. تُستخدم في تحليل QR المستقر عددياً.

06 / 10
LA 101
M05 · L03
عائلتان

det = +1 أو −1

det(Q)² = 1 لأن det(QᵀQ) = det(I) = 1. تبرز عائلتان:

det(Q) = +1
دورانات حقيقية — تحافظ على التوجه (SO(n))
det(Q) = −1
دورانات غير حقيقية — تتضمن انعكاساً، تعكس التوجه
07 / 10
LA 101
اختبار سريع

تحقّق ممّا ثبت

أربعة أسئلة من هذا الدرس. أجب لترى السبب — يظهر الشرح سواء أصبتَ أم أخطأت. ولا شيء يُسجّل أو يُحفظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

08 / 10
LA 101
M05 · L03
معالجة الإشارات

التحويلات المتعامدة

  • مصفوفة DFT — أحادية (متعامدة مركبة)، F⁻¹ = F* مجاني
  • DCT (JPEG) — متعامدة، تحويل صور يحفظ الطاقة
  • تشفير MIMO المسبق — Q تدوّر الإشارة لمتجهات قيم ذاتية القناة
  • تشكيل الحزمة — QᵀQy = y فلترة متطابقة دقيقة
  • QR بهاوسهولدر — مستقر عددياً، يُستخدم في LAPACK
09 / 10
LA 101
ما التالي
اكتمل الدرس 3

M5-L4: المربعات الصغرى

أتقنتَ المصفوفات المتعامدة — التحويلات الصلبة التي تحفظ الشكل. التالي: ما تفعله عندما لا يكون للنظام حل مضبوط على الإطلاق — أسقِط على فضاء الأعمدة وحلّ المعادلات الاعتيادية.

القادم
M5-L4: المربعات الصغرى ←
كل الدروس اقرأ المقالة
10 / 10