المصفوفات المتعامدة

ما الذي يجعل المصفوفة متعامدة؟

في الدرس السابق استخدمنا غرام-شميت لبناء أسس متعامدة موحّدة — مجموعات من المتجهات المتعامدة متبادلاً والتي يبلغ طول كل منها الوحدة. الآن نسأل: ماذا يحدث حين نضع تلك المتجهات المتعامدة الموحّدة في أعمدة مصفوفة؟ الناتج هو مصفوفة متعامدة، ولها إحدى أكثر الخصائص فائدة في الجبر الخطي.

تُسمّى المصفوفة المربعة Q متعامدة إذا كانت أعمدتها تُشكّل مجموعة متعامدة موحّدة. الشرط المحدِّد بسيط في مظهره: Q^TQ = I. بما أن Q مربعة، فهذا يعني أيضاً QQ^T = I، أي Q^T = Q^-1. المنقول هو المعكوس — لا حاجة للحذف الغاوسي، ولا لحساب المحدد، فقط منقول.

الخاصية المحدِّدة

Q^T Q = I \quad \Longleftrightarrow \quad Q^{-1} = Q^T

Q متعامدة إذا وفقط إذا كان Q^TQ = I. هذا يُرمّز لحقيقتين معاً: عناصر القطر (i,i) تقول أن لكل عمود طول الوحدة؛ والعناصر (i,j) للـi ≠ j تقول أن الأعمدة المختلفة متعامدة. يتبع Q^T = Q^-1 فوراً بما أن Q مربعة.

ملاحظة اصطلاحية

مصطلح "مصفوفة متعامدة" غريب تاريخياً — ما يعنيه حقاً هو أعمدة متعامدة موحّدة (متعامدة وبطول الوحدة معاً). التعامد المجرد (حواصل ضرب صفرية فقط) لا يكفي. تذكّر هذا عند قراءة الكتب المدرسية.

المصفوفات المتعامدة تحفظ الهندسة

أهم خاصية للمصفوفة المتعامدة هي ما تفعله بالمتجهات: إنها تحفظ الأطوال والزوايا معاً. إذا كانت Q متعامدة وحوّلتَ المتجهَين x وy إلى Qx وQy، فإن:

الأطوال محفوظة: ‖Qx‖ = ‖x‖ لكل متجه x.
الزوايا محفوظة: الزاوية بين Qx وQy تساوي الزاوية بين x وy.
حواصل الضرب النقطية محفوظة: (Qx)·(Qy) = x·y.

حفظ الطول والضرب الداخلي

\|Q\mathbf{x}\|^2 = \mathbf{x}^T Q^T Q \mathbf{x} = \mathbf{x}^T \mathbf{x} = \|\mathbf{x}\|^2, \qquad (Q\mathbf{x})^T(Q\mathbf{y}) = \mathbf{x}^T \mathbf{y}

‖Qx‖² = (Qx)ᵀ(Qx) = xᵀQᵀQx = xᵀIx = ‖x‖². وبالمثل، (Qx)ᵀ(Qy) = xᵀQᵀQy = xᵀy. كلاهما يتبع مباشرة من Q^TQ = I.

هندسياً، المصفوفات المتعامدة هي الحركات الصلبة في الجبر الخطي — تدوّر الفضاء وتعكسه دون تمطيطه أو ضغطه. لهذا تظهر في كل مكان في الفيزياء، والرسوميات الحاسوبية، ومعالجة الإشارات، والحوسبة العددية.

المعكوس مجاني: Q⁻¹ = Qᵀ

لمصفوفة n×n عامة A، يكلّف حساب A^-1 عمليات O(n³). أما للمصفوفة المتعامدة Q، فالمعكوس هو المنقول — عملية O(n²) (أو حتى O(1) إذا فكّرت بها مجرد إعادة ترتيب فهرسة). هذه هي المعجزة الحسابية للمصفوفات المتعامدة.

المعكوس المجاني

Q^{-1} = Q^T \quad \Rightarrow \quad Q\mathbf{x} = \mathbf{b} \text{ solved by } \mathbf{x} = Q^T \mathbf{b}

Q^-1 = Q^T. حل Qx = b يصبح x = Q^Tb — مجرد ضرب مصفوفة في متجه. حل الأنظمة بالمصفوفات المتعامدة رخيص تافه ومستقر عددياً تماماً.

تجعل هذه الخاصية المصفوفاتِ المتعامدة التحليلَ المفضَّل في الجبر الخطي العددي. تحليل QR من الدرس الأخير قوي بالضبط لأن Q^-1 مجاني — حل QRx = b يختزل إلى الإحلال العكسي على R بعد حساب Q^Tb.

محدد المصفوفة المتعامدة

بما أن Q^TQ = I، أخذ المحددات من كلا الطرفين يعطي det(Q^T)·det(Q) = 1. بما أن det(Q^T) = det(Q)، نحصل على det(Q)² = 1، إذن det(Q) = ±1. هذا يقسّم المصفوفات المتعامدة إلى عائلتين:

det(Q) = +1 — دورانات حقيقية (تحافظ على التوجه)
det(Q) = −1 — دورانات غير حقيقية: دوران مقترن بانعكاس (تعكس التوجه)

مصفوفات الدوران

أكثر المصفوفات المتعامدة شيوعاً هي مصفوفات الدوران ثنائية الأبعاد. تدوير كل متجه في المستوى بزاوية θ عكس اتجاه عقارب الساعة هو تحويل خطي تمثّله:

مصفوفة الدوران ثنائي الأبعاد

R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}, \qquad R(\theta)^T = R(-\theta) = R(\theta)^{-1}

R(θ) تدوّر كل متجه بزاوية θ عكس اتجاه عقارب الساعة. أعمدتها هي [cos θ, sin θ]ᵀ و[−sin θ, cos θ]ᵀ — متجهات متعامدة موحّدة. det(R) = cos²θ + sin²θ = 1، مما يؤكد أنها دوران حقيقي.

تحقق: R(θ)ᵀR(θ) = I بالحساب المباشر. معكوس الدوران بـθ هو الدوران بـ−θ، أي R(−θ) = R(θ)ᵀ — مؤكداً Q^-1 = Q^T.

في ثلاثة أبعاد، مصفوفات الدوران متعامدة بالمثل. الدوران بزاوية θ حول المحور z يمدّد R(θ) بإضافة 1 في الموضع (3,3). تركيب دورانين Q₁ وQ₂ يعطي Q₁Q₂، وهي متعامدة أيضاً: (Q₁Q₂)ᵀ(Q₁Q₂) = Q₂ᵀQ₁ᵀQ₁Q₂ = Q₂ᵀQ₂ = I.

مصفوفات الانعكاس

الانعكاسات هي العائلة الأخرى من المصفوفات المتعامدة (det = −1). انعكاس جميع المتجهات حول خط يمر بالأصل (في 2D) أو مستوى يمر بالأصل (في 3D) هو تحويل متعامد. الصيغة العامة للانعكاس حول الفضاء المتعامد مع متجه الوحدة u هي انعكاس هاوسهولدر:

انعكاس هاوسهولدر

H = I - 2\mathbf{u}\mathbf{u}^T, \quad \|\mathbf{u}\| = 1, \qquad H^T = H, \quad H^2 = I, \quad \det(H) = -1

H = I − 2uuᵀ تعكس المتجهات حول الفضاء المتعامد مع متجه الوحدة u. تحقق: Hᵀ = H (متماثلة)، H² = I (الانعكاس مرتين يعيد للبداية)، det(H) = −1. انعكاسات هاوسهولدر هي العمل الأساسي في تحليل QR عملياً.

هاوسهولدر مقابل QR بغرام-شميت

تبني غرام-شميت Q عموداً بعمود. أما QR بهاوسهولدر فيبني Q كحاصل ضرب انعكاسات H₁H₂…Hₙ، كل منها يُصفّر حدًا دون القطر في A. هاوسهولدر أكثر استقراراً بمرتين في الفاصلة العائمة وهو الخوارزمية المستخدمة في LAPACK وMATLAB وNumPy للمصفوفات الكبيرة.

التطبيقات في معالجة الإشارات

تظهر المصفوفات المتعامدة في كل معالجة الإشارات والاتصالات لأنها تحفظ طاقة الإشارة وتتيح الانعكاس السريع الدقيق.

مصفوفة DFT

مصفوفة تحويل فورييه المتقطع (DFT) لها عناصر Fₖₙ = e^{−j2πkn/N}/√N. مع التطبيع بـ1/√N، F أحادية (التعميم المركب للتعامد): F*F = I حيث F* هو المنقول المرافق. إذن معكوس DFT هو F⁻¹ = F*. ولأن F متماثلة — فـFₖₙ يعتمد على حاصل الضرب kn فقط، أي Fᵀ = F — يصبح المنقول المرافق مجرد مرافقة لكل عنصر: F⁻¹ = F* = F̄، وعناصره e^{+j2πkn/N}/√N. فالعودة من التردد إلى الزمن هي نفس عملية الذهاب من الزمن إلى التردد، مع أخذ المرافق فقط.

تشكيل الحزمة وMIMO

في مصفوفات الهوائيات، مصفوفة متجهات التوجيه تكون شبه متعامدة للاتجاهات المتباعدة جيداً. ضرب الإشارات المستقبَلة بـQ^T (الفلترة المتطابقة) هو خطوة الدمج بالنسبة الأقصى. في اتصالات MIMO، مصفوفة التشفير المسبق Q تدوّر الإشارة المرسَلة إلى متجهات القيم الذاتية للقناة — دوران لا يغيّر طاقة الإشارة.

الموجيات وترميز التحويل

تحويل جيب التمام المتقطع (DCT) بأسلوب JPEG يستخدم مصفوفة متعامدة. تحويل كتلة صورة Ax = b بتحويل متعامد Q يحفظ إجمالي طاقة الإشارة (‖Qb‖ = ‖b‖) بينما يُركّزها في معاملات كبيرة أقل. المعكوس مجاني (Q^T)، لذا إعادة التركيب دقيقة ورخيصة.

المجموعة المتعامدة O(n)

مجموعة جميع المصفوفات المتعامدة n×n تُشكّل مجموعة تحت ضرب المصفوفات — تسمى المجموعة المتعامدة O(n). المجموعة الفرعية بـdet = +1 هي المجموعة المتعامدة الخاصة SO(n)، التي تحتوي جميع الدورانات الحقيقية. هذه المجموعات أساسية في الفيزياء (مجموعات تماثل الفضاء)، والروبوتيات (دورانات المفاصل)، وتعلم الآلة (الشبكات المتكافئة).

خصائص المجموعة الرئيسية:

الانغلاق: حاصل ضرب مصفوفتين متعامدتين مصفوفة متعامدة.
المحايد: المصفوفة الوحدية I متعامدة.
المعكوس: المعكوس Q^-1 = Q^T متعامد.
الترابطية: ضرب المصفوفات ترابطي دائماً.

أبرز النقاط

المصفوفة المربعة Q متعامدة إذا كان Q^TQ = I — أعمدتها متعامدة موحّدة. المصفوفات المتعامدة تحفظ الأطوال والزوايا: ‖Qx‖ = ‖x‖ و(Qx)·(Qy) = x·y. المعكوس مجاني: Q^-1 = Q^T. det(Q) = ±1، تنقسم إلى دورانات (+1) وانعكاسات (−1). مصفوفات الدوران R(θ) وانعكاسات هاوسهولدر H = I − 2uuᵀ هي الأمثلة المعيارية. في معالجة الإشارات، التحويلات المتعامدة (DFT، DCT، QR بهاوسهولدر) تحفظ الطاقة وتنعكس بلا تكلفة.