LA 101
و٠٦ · د٠٣
الوحدة 6: فضاءات حاصل الضرب الداخلي
صلة متسلسلات فورييه
متسلسلة فورييه ليست تحويلاً غامضاً — بل هي إسقاط متعامد في L². كل معامل هو حاصل ضرب نقطي، وكل مجموع جزئي هو أفضل تقريب. الجبر الخطي يجعل كل شيء شفافاً.
01 / 10
LA 101
و٠٦ · د٠٣
الأساس المتعامد الطبيعي
المنظومة المثلثية
فضاء L²([−π, π]) يمتلك أساساً متعامداً طبيعياً مكتملاً: الدوال المثلثية.
1/√(2π)
ثابت
cos(nt)/√π
جيوب تمام
sin(nt)/√π
جيوب
التعامد
⟨cos(mt), cos(nt)⟩ = π δₘₙ — التوافقيات المختلفة لها حاصل ضرب داخلي يساوي صفراً.
02 / 10
LA 101
و٠٦ · د٠٣
المعاملات كحواصل ضرب داخلية
معاملات فورييه
معاملات فورييه
a_n = \tfrac{1}{\pi}\!\int_{-\pi}^{\pi}\!f(t)\cos(nt)\,dt,\quad b_n = \tfrac{1}{\pi}\!\int_{-\pi}^{\pi}\!f(t)\sin(nt)\,dt
كما في ℝⁿ
استخراج الإحداثيات عبر حواصل الضرب الداخلية — التناظر المباشر لـ v_i = ⟨v, eᵢ⟩.
03 / 10
LA 101
و٠٦ · د٠٣
التقريب بأدنى خطأ
المجاميع الجزئية كـإسقاطات
أفضل تقريب
S_N f = \underset{g\in V_N}{\arg\min}\,\|f-g\|_{L^2}
Sₙf هو الإسقاط المتعامد لـ f على Vₙ = span{1, cos t, sin t, …, cos(Nt), sin(Nt)}. الخطأ f − Sₙf متعامد مع Vₙ.
04 / 10
LA 101
و٠٦ · د٠٣
الصورة المركّبة
الأسس الأسية المركّبة
المعاملات المركّبة
c_n = \tfrac{1}{2\pi}\!\int_{-\pi}^{\pi}\!f(t)e^{-int}\,dt
- الأساس: eⁱⁿᵗ/√(2π) لـ n ∈ ℤ
- متعامد طبيعي مكتمل في L² المركّب([−π, π])
- يدمج جيب التمام والجيب في صيغة واحدة
- يمتد بشكل طبيعي إلى تحويل فورييه
05 / 10
LA 101
و٠٦ · د٠٣
حدود الأمثلية في L²
ظاهرة غيبس
قرب الانقطاع القفزي، تتجاوز المجاميع الجزئية القيمة الحقيقية بـ~9% من ارتفاع القفزة — بصرف النظر عن عدد الحدود.
- الأفضل في L² ≠ صغير في كل مكان
- التجاوز يقترب من القفزة لكنه لا يختفي أبداً
- مبرهنة ديريخليه: تقارب نقطي إلى المتوسط عند القفزات
- التنميذ (هامينج، هانينج) يعالج هذا عملياً
06 / 10
LA 101
و٠٦ · د٠٣
النسخة المنتهية الأبعاد
مصفوفة DFT
DFT
\mathbf{X} = F\mathbf{x},\quad F_{kn}=\omega^{kn}/\!\sqrt{N},\quad FF^*=I
موحّدة
F F* = I — الـDFT هو تغيير أساس في ℂᴺ إلى أساس DFT متعامد طبيعي. تحسب FFT ذلك في O(N log N).
07 / 10
LA 101
و٠٦ · د٠٣
الترشيح هو التقطير القطري
مبرهنة الالتفاف
الالتفاف = الضرب
F(\mathbf{x}\circledast\mathbf{h}) = \sqrt{N}\,(F\mathbf{x}) \odot (F\mathbf{h}) \;\Leftrightarrow\; Y[k]=H[k]X[k]
- الجذر √N يأتي من التطبيع الأحادي 1/√N للمصفوفة F
- الأسس الأسية المركّبة هي دوال ذاتية لأنظمة LTI
- الاستجابة الترددية للمرشّح = القيم الذاتية
- OFDM: N قناة سلمية مستقلة عبر DFT
- الترشيح المطابق = حاصل ضرب داخلي مع القالب
09 / 10
LA 101
و٠٦ · د٠٣
الدرس الثالث مكتمل
فورييه هو جبر خطي!
المعاملات هي حواصل ضرب داخلية. المجاميع الجزئية هي إسقاطات. DFT هو تغيير أساس موحّد. الترشيح هو تقطير قطري. إطار تحليل فورييه بأكمله هو مجرد جبر خطي في أبعاد لانهائية (أو منتهية).
الوحدة 6 مكتملة
فضاءات حاصل الضرب الداخلي — تم ✓
10 / 10