LA 101
M07 · L01
الوحدة 7: تحليلات المصفوفات
تحليل LU
حلّل A مرة واحدة إلى مثلثية سفلية L ومثلثية علوية U. ثم احل Ax = b لأي طرف أيمن بتكلفة O(n²) — أساس الجبر الخطي الحسابي.
01 / 10
LA 101
M07 · L01
تحليل LU
عاملان مثلثيان
يمكن كتابة أي مصفوفة مربعة A (تحت شروط بسيطة) كحاصل ضرب مصفوفتين مثلثيتين.
L
مثلثية سفلية، إحاديات على القطر
U
مثلثية علوية، شكل سلّمي
A = LU
التحليل
الدافع
حل Ax = b لعدد كبير من أطراف b دون تكرار الحذف في كل مرة.
02 / 10
LA 101
M07 · L01
العاملان L وU
بنية A = LU
تحليل LU
A = LU,\quad L_{ii}=1,\; L_{ij}=0\;(j>i),\quad U_{ij}=0\;(j<i)
خاصية أساسية
L تحتوي إحاديات على قطرها. المدخلات تحت القطر في L هي المضاعفات من حذف غاوس.
03 / 10
LA 101
M07 · L01
الصلة بحذف غاوس
الحذف مُعاد تعبئته
حذف غاوس على A يُنتج U ويُهمل المضاعفات. تحليل LU يحفظها في L.
- المضاعف mᵢₖ = aᵢₖ / aₖₖ يُخزَّن في L[i,k]
- U هو الشكل السلّمي للصفوف بعد كل الخطوات
- L هو معكوس حاصل ضرب المصفوفات الابتدائية
- الحساب ذاته — مُسجَّل فقط بطريقة مختلفة
04 / 10
LA 101
M07 · L01
الحل بخطوتين
التعويض الأمامي والخلفي
Ax = b عبر LU
Ly = b \;\text{(forward)},\quad Ux = y\;\text{(back)}
- تعويض أمامي: حل Ly = b من أعلى لأسفل، O(n²)
- تعويض خلفي: حل Ux = y من أسفل لأعلى، O(n²)
- كلتا الخطوتين تستغلان البنية المثلثية
- b جديد؟ فقط نفّذ التعويضين الرخيصين مجدداً
05 / 10
LA 101
M07 · L01
لماذا LU؟ أطراف أيمنة متعددة
تحليل واحد، حلول كثيرة
التباين في التكلفة هو جوهر الفكرة. حلّل مرة واحدة، واحل بتكلفة ضئيلة في كل مرة.
- n³/3 عملية — تكلفة التحليل الأولية لمرة واحدة
- n² عملية — تكلفة كل طرف أيمن جديد
- لـ n = 10,000: التحليل أغلى بـ 1,600 مرة من كل حل
- مُستخدم في MATLAB \، NumPy linalg.solve، LAPACK dgesv
- أيضاً: يُمكّن حساب المعكوس والمحدد
06 / 10
LA 101
M07 · L01
المحاور للاستقرار
PA = LU مع المحاور
المحاور الجزئية
PA = LU,\quad |m_{ik}| \leq 1
لماذا المحاور؟
اختر العنصر ذا أكبر قيمة مطلقة محوراً في كل خطوة. جميع المضاعفات تحقق |mᵢₖ| ≤ 1 مما يحدّ نمو الأخطاء. معياري في كل محلّل إنتاجي.
07 / 10
LA 101
M07 · L01
مثال محلول 3×3
LU على أرض الواقع
تحليل 3×3
\begin{pmatrix}2&1&1\\4&3&3\\8&7&9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\4&3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{pmatrix}
المضاعفات
m₂₁ = 2، m₃₁ = 4، m₃₂ = 3 — مخزَّنة في L تحت القطر. U هو الشكل السلّمي للصفوف الناتج.
09 / 10
LA 101
M07 · L01
بداية الوحدة 7
LU: حصان العمل
A = LU (أو PA = LU مع المحاور) هو حذف غاوس مُعاد تعبئته في عاملين مثلثيين قابلين للإعادة. يكلّف n³/3 مرة واحدة وn² لكل حل — مفتاح الجبر الخطي الحسابي الكفوء.
الوحدة 7: تحليلات المصفوفات
تحليل LU — تم ✓
10 / 10