LA 101
M07 · L04
الوحدة 7: تحليلات المصفوفات
تحليل تشولسكي
A = LLᵀ للمصفوفات المتماثلة الموجبة التعريف — أسرع مرتين من LU، لا يحتاج ترتيب محاور، أساس المحاكاة الإحصائية وفلتر كالمان.
01 / 11
LA 101
M07 · L04
المصفوفات المتماثلة الموجبة التعريف
متى تكون A موجبة التعريف؟
Aᵀ = A
متماثلة
xᵀAx > 0
موجبة التعريف
λᵢ > 0
جميع القيم الذاتية موجبة
مصادر شائعة
المعادلات الطبيعية AᵀA، مصفوفات التباين في الإحصاء، مصفوفات الصلابة في FEM، مصفوفات النواة في العمليات الغاوسية.
02 / 11
LA 101
M07 · L04
التحليل
A = LLᵀ
تحليل تشولسكي
A = LL^T,\quad L \text{ lower triangular},\quad \ell_{ii} > 0
فريد
لأي مصفوفة SPD، توجد مصفوفة مثلثية سفلية L واحدة فريدة ذات عناصر قطرية موجبة تحقق A = LLᵀ. إنها "الجذر المثلثي" للمصفوفة.
03 / 11
LA 101
M07 · L04
الخوارزمية
عمودًا بعد عمود
تكرار تشولسكي
\ell_{jj}=\sqrt{a_{jj}-\textstyle\sum_{k<j}\ell_{jk}^2},\quad \ell_{ij}=\frac{a_{ij}-\sum_{k<j}\ell_{ik}\ell_{jk}}{\ell_{jj}}
إذا كانت حجة √ ≤ 0، فإن A ليست موجبة التعريف — الخوارزمية تُجري الاختبار تلقائيًا.
04 / 11
LA 101
M07 · L04
الكفاءة والاستقرار
نصف تكلفة LU
- n³/6 عملية ضرب — نصف تكلفة LU البالغة n³/3
- لا ترتيب للمحاور — الإيجابية التعريفية تضمن الاستقرار
- نصف التخزين — المثلث السفلي فقط
- معامل النمو ≤ 1 — مستقر خلفيًا بشكل غير مشروط
- اختبار SPD مدمج — الفشل = ليست موجبة التعريف
05 / 11
LA 101
M07 · L04
حل الأنظمة الخطية
حلّان مثلثيان
Ax = b عبر A = LLᵀ
Ly=b\;(\text{forward})\;\Rightarrow\;L^Tx=y\;(\text{back})
المحدد
det(A) = (ℓ₁₁ · ℓ₂₂ · ⋯ · ℓₙₙ)². لوغاريتم المحدد لتوزيعات غاوس: log det(A) = 2 · Σᵢ log ℓᵢᵢ.
06 / 11
LA 101
M07 · L04
تطبيق: المحاكاة الإحصائية
أخذ عينات متجهات عشوائية مترابطة
أخذ عينات من التوزيع الغاوسي متعدد الأبعاد
\Sigma=LL^T,\;z\sim\mathcal{N}(0,I)\;\Rightarrow\;x=\mu+Lz\sim\mathcal{N}(\mu,\Sigma)
لماذا يعمل
E[LzzᵀLᵀ] = L·I·Lᵀ = LLᵀ = Σ. عامل تشولسكي L هو عامل "التلوين" الذي يُدخل الترابطات المطلوبة.
07 / 11
LA 101
M07 · L04
التطبيقات
أين يظهر تشولسكي
- المعادلات الطبيعية: حل AᵀAx = Aᵀb للمربعات الصغرى
- فلتر كالمان: متغيرات الجذر التربيعي تُعالج L لمصفوفة التباين P
- العملية الغاوسية: حل Kα = y وحساب log det(K)
- طريقة نيوتن: حل أنظمة المصفوفة الهيسية في كل تكرار
- FEM: تشولسكي المتفرق لمصفوفات الصلابة الكبيرة
- الاستدلال البايزي: أخذ عينات من مصفوفة التباين الخلفية
08 / 11
LA 101
M07 · L04
مقارنة
تشولسكي مقابل الطرق الأخرى
- مقابل LU: أسرع مرتين، لا ترتيب محاور، SPD فقط
- مقابل QR: QR يتجنب تربيع رقم التكييف؛ تشولسكي أسرع
- مقابل SVD: SVD يكشف الطيف الكامل؛ تشولسكي فقط للحل السريع
- مقابل التحليل الطيفي: يحتاج جميع القيم الذاتية؛ تشولسكي يكتفي بـ A = LLᵀ
قاعدة عملية
إذا كانت A موجبة التعريف وتحتاج فقط لحل Ax = b — استخدم تشولسكي. الأسرع والأكثر استقرارًا.
10 / 11
LA 101
M07 · L04
الوحدة 7 مكتملة
تشولسكي: متخصص SPD
A = LLᵀ — أسرع وأبسط وأكثر استقرارًا من LU لأهم فئة من المصفوفات. من الإحصاء إلى فلاتر كالمان، تشولسكي هو العمود الفقري لحسابات SPD.
الوحدة 7: تحليلات المصفوفات
LU · QR · SVD · تشولسكي ✓
11 / 11