فكِّك مصفوفة صورة بـSVD واقرأ قيمها المفردة في المِنصّة التفاعلية، وتوقَّع — قبل أن تخبرك الشاشة — كم عدد σi غير الصفرية، وكم من الطاقة تلتقطها أعلى k منها، وكيف يهبط خطأ إعادة البناء من الرتبة k كلّما ارتفعت k.
تفكيك القيمة المفردة A = UΣV⊤ يكتب أيّ مصفوفة مجموعَ طبقاتٍ من الرتبة واحد σi ui vi⊤ مرتَّبةً حسب أهمّيتها. عدد σi غير الصفرية هو الرتبة؛ والطاقة التي تلتقطها أعلى k منها هي (Σi≤k σi2) / (Σi σi2)؛ وبمبرهنة Eckart–Young فإنّ الاحتفاظ بأعلى k طبقاتٍ هو أفضل تقريبٍ ممكنٍ من الرتبة k بمعيار فروبنيوس.
افتح المِنصّة. اختر الصورة “Rank 5 by construction” واترك القيم الافتراضية (الحجم 64×64، بلا ضوضاء، البذرة 1). تُسمّي كل خطوة الرتبة k التي تضبطها؛ اقرأ طيف القيم المفردة، وقراءة الطاقة المُفسَّرة، وخطأ إعادة البناء المقيس.
Image = Rank 5 by construction size = 64x64 noise = 0 seed = 1
Read: sigma_1..sigma_l explained energy at k ||A - A_k||_F / ||A||_F
راقب مخطّط أعمدة القيم المفردة، ونسبة “الطاقة المحفوظة”، والخطأ المقيس المطبوع فوق إعادة البناء — كل رقم تتوقّعه موجودٌ على الشاشة.
فكِّك الصورة وانظر إلى طيف القيم المفردة. توقَّع كم عدد σi غير الصفرية فعلاً — هذا العدد هو رتبة المصفوفة — ثم اقرأ الرتبة العددية من المخطّط.
القيم المفردة غير الصفرية عددها 5 بالضبط، والبقية عند حدّ الفاصلة العائمة: الرتبة العددية هي 5، ولهذا تُسمّى هذه الصورة “rank 5 by construction”.
اضبط k = 3 واقرأ قراءة “الطاقة المحفوظة” — أي الكسر (Σi≤3 σi2) / (Σi σi2). توقَّع هل تلتقط ثلاث طبقاتٍ من أصل خمسٍ معظمَ الطاقة.
تلتقط أعلى 3 طبقاتٍ من أصل 5 بالفعل 0.9939 من الطاقة — أكثر من 99%. تهبط القيم المفردة بسرعةٍ حتى إنّ الطبقات الأولى تحمل كلّ شيءٍ تقريباً.
اضبط k = 4 واقرأ الخطأ النسبيّ المقيس ||A - Ak||F / ||A||F. ثم ارفع k إلى 5 وتوقَّع ماذا يحدث للخطأ.
عند k = 4 يكون الخطأ النسبيّ 0.0528 — نحو 5% ما زالت ناقصةً لأنّ طبقةً واحدةً غير صفريةٍ أُسقِطت. وعند k = 5 يهبط الخطأ إلى حدّ الفاصلة العائمة: الرتبة 5 تُعيد إنتاج المصفوفة تماماً.
كل ما سبق ينتظرك في المِنصّة. اختر أيّ صورة، واسحب مُنزلِقات الحجم والضوضاء والرتبة k، وراقب طيف القيم المفردة، والطاقة المُفسَّرة، وطبقات الرتبة واحد، وخطأ إعادة البناء المقيس تتحدّث دفعةً واحدة.
- قرأتَ رتبة مصفوفة بوصفها عدد القيم المفردة غير الصفرية، 5
- رأيتَ أعلى 3 طبقاتٍ تلتقط 0.9939 من الطاقة — أكثر من 99%
- قِستَ خطأ الرتبة 4 عند 0.0528، ثم رأيتَه يتلاشى عند الرتبة 5 — استرجاعٌ تامّ
- كل قيمة توقّعتها هي حساب SVD الخاصّ بالعرض، لا صورة تقريبية