LA 101
M09 · L01
الوحدة 9: الجبر الخطي العددي
الفاصلة العائمة والتكييف
لا تستطيع الحواسيب تمثيل معظم الأعداد الحقيقية بدقة تامة. هذا القيد الجوهري — ورقم التكييف الذي يقيس حساسية المسألة — يحددان كمية الخطأ المتوقع قبل البدء في الحساب.
01 / 11
LA 101
M09 · L01
IEEE 754 مزدوج الدقة
تمثيل الفاصلة العائمة
64
بت إجمالي
2⁻⁵²
إبسيلون الآلة
~16
خانة عشرية
توزيع البتات
1 بت إشارة · 11 بت أس · 52 بت كسري. كل عدد حقيقي يُقرَّب: fl(x) = x(1 + δ), |δ| ≤ ε_mach/2 ≈ 1.1×10⁻¹⁶. أخطاء التقريب تتراكم في العمليات الطويلة.
02 / 11
LA 101
M09 · L01
خطأ التقريب
الإلغاء الكارثي
الخطأ النسبي
\frac{|\mathrm{fl}(x)-x|}{|x|}\leq\varepsilon_{\text{mach}},\quad \varepsilon_{\text{mach}}=2^{-52}\approx 2.2\times10^{-16}
مثال
إذا كان a ≈ b، فإن a − b يفقد log₁₀(|a|/|a−b|) خانة عشرية. في الصيغة التربيعية: حين b² ≈ 4ac، احسب الجذر الكبير بالصيغة المعتادة والجذر الصغير من x₁x₂ = c/a. لا تطرح أبدًا عددين عائمين متقاربين.
03 / 11
LA 101
M09 · L01
رقم التكييف
تضخيم الاضطرابات
- التعريف: κ(A) = ‖A‖ · ‖A⁻¹‖ = σ_max / σ_min
- المعنى: أسوأ تضخيم ممكن للخطأ النسبي
- إذا κ = 10⁶: خطأ ε_mach = 10⁻¹⁶ في b → خطأ 10⁻¹⁰ في x
- قاعدة عملية: κ = 10^k → تفقد k خانة عشرية
- κ = 1: مصفوفة متعامدة — تكييف مثالي
04 / 11
LA 101
M09 · L01
حد رقم التكييف
تضخيم الخطأ
حد الاضطراب
\frac{\|\delta x\|}{\|x\|}\leq\kappa(A)\frac{\|\delta b\|}{\|b\|},\quad\kappa(A)=\frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}}
الخطأ النسبي في x محدود بـ κ(A) مضروبًا في الخطأ النسبي في b. وسوء التكييف خاصية المسألة لا الخوارزمية. حتى الخوارزمية المثالية لا تستطيع تجاوز هذا الحد.
05 / 11
LA 101
M09 · L01
مصادر سوء التكييف
المنظومات سيئة التكييف
- الميزات متعددة الخطية: أعمدة متوازية تقريبًا → κ(XᵀX) ينفجر
- مصفوفات فاندرموند: ملاءمة متعددة حدود درجة n → κ يتضاعف أسيًا
- مصفوفات هيلبرت: Hᵢⱼ = 1/(i+j−1) → شبه شاذة لـ n ≥ 13
- المعادلات الطبيعية XᵀX: κ(XᵀX) = κ(X)² — استخدم QR أو SVD دائمًا
- معادلات تفاضلية شبكية دقيقة: رقم التكييف ∝ O(1/h²)
06 / 11
LA 101
M09 · L01
الاستقرار العددي
خوارزميات مستقرة وغير مستقرة
- مستقرة ارتجاعيًا: النتيجة دقيقة لمسألة مجاورة (δ ∼ ε_mach)
- غير مستقرة: تضخّم التقريب فوق ما يقتضيه κ(A)
- LU بلا محورية: غير مستقر — المحاور الصغيرة تنفجر
- LU بمحورية جزئية: مستقر ارتجاعيًا عمليًا، وكذلك QR بهاوسهولدر وSVD
- لا تُكوّن A⁻¹b أبدًا: مُهدِر وأقل استقرارًا من التحليل
07 / 11
LA 101
M09 · L01
استقرار المربعات الصغرى
QR مقابل المعادلات الطبيعية
مقارنة رقم التكييف
\kappa(X^T X)=\kappa(X)^2
لماذا يفوز QR
إذا كان κ(X) = 10⁸ (على الحدّ)، فإن κ(XᵀX) = 10¹⁶ — أي شبه شاذة في الدقة المزدوجة. QR يعمل على X مباشرةً: يمنحك 8 خانات موثوقة مقابل صفر من المعادلات الطبيعية. كل المكتبات الجادة تستخدم QR أو SVD.
08 / 11
LA 101
M09 · L01
قائمة مراجعة عملية
متى تقلق؟
- افحص κ(A): إذا كان κ > 10^(16−p)، فدقة p خانة مستحيلة
- نظّم بياناتك: توحيد أعمدة X يقرّب القيم الشاذة من بعضها
- استخدم التنظيم: ريدج يضيف λI فيحدّ κ عند (σ_max²+λ)/λ
- راقب البواقي: ‖Ax̃ − b‖/‖b‖ يكشف الخطأ الارتجاعي
- استخدم QR أو SVD: لا المعادلات الطبيعية أبدًا للمربعات الصغرى
- التكرار الاستصلاحي: احسب r = b−Ax̃، حل Ad = r، ثم x̃ += d
10 / 11
LA 101
M09 · L01
الوحدة 9 · الدرس 1 مكتمل
للأعداد حدودها
ε_mach ≈ 2.2×10⁻¹⁶ يحدد التقريب لكل عملية. κ(A) = σ_max/σ_min يضخّم الأخطاء: خسارة log₁₀(κ) خانة أمر لا مفر منه. الخوارزميات المستقرة ارتجاعيًا (LU المحوري، QR هاوسهولدر، SVD) تبلغ أرضية الدقة النظرية κ · ε_mach. افحص دائمًا رقم التكييف والبقية قبل الوثوق بالحل.
الوحدة 9: الجبر الخطي العددي
الفاصلة العائمة · التكييف · الأساليب التكرارية
11 / 11