المركز نصف الحكاية فقط
مدينتان متوسط حرارتهما 15 درجة مئوية. الأولى لا تخرج عن 12 إلى 18. والثانية تتقلّب من −20 إلى +45. المركز نفسه، وواقعان متناقضان — والفرق كله هو التشتت.
أحد عشر تنقّلاً
عشرة صباحات عادية وصباح سيّئ واحد. مجموعها 341، إذن x̄ = 31 دقيقة والوسيط 29. كل مقياس قادم سنحكم عليه بتفاعله مع ذلك الـ53.
الـمدى
53 − 21 = 32 دقيقة. صادق وفوري — لكن تسع قيم من أصل إحدى عشرة لم تشارك، والمدى لا يفعل شيئاً إلا أن ينمو كلما جمعت أياماً أكثر.
الـتباين
مجموع الانحرافات عن المتوسط صفر دائماً، فربّعها أولاً. مجموع المربّعات 804، ومنه s² = 804 ÷ 10 = 80.4.
الانحراف المعياري
تباين قدره 80.4 وحدته دقيقة مربّعة. خُذ الجذر فتعود الوحدات: s = 8.97 دقيقة. الصباح المعتاد يختلف عن المتوسط بنحو تسع دقائق.
لماذا n − 1؟
x̄ هو المركز الذي يجعل مجموع المربّعات أصغر ما يمكن، فالتشتت المقيس حوله يأتي دائماً أصغر من الحقيقة. والقسمة على n − 1 تعيد بالضبط ما فُقد.
الأرباع والمدى الربيعي
الربيع الأول هو وسيط النصف الأدنى (24)، والثالث وسيط النصف الأعلى (35). والفجوة بينهما هي 50% الوسطى من البيانات: المدى الربيعي = 11 دقيقة. غيّر الـ53 إلى 200 ولن يتحرك.
الملخص الخماسي
الأصغر، والربيع الأول، والوسيط، والربيع الثالث، والأكبر. اقرأ الفجوات فيظهر الشكل دون رسم: 3، ثم 5، ثم 6، ثم 18 — تتّسع بحدّة يميناً.
بناء مخطط الصندوق
- الصندوق — من الربيع الأول 24 إلى الثالث 35، فعرضه هو المدى الربيعي
- خط الوسيط — عند 29، بعيداً عن المنتصف لأن البيانات ملتوية
- الشوارب — إلى آخر قيمة داخل السياجين 7.5 و51.5: أي 21 و38
- نقاط مفردة — كل ما تجاوز سياجاً يُرسم وحده: الـ53
حرّك أسوأ تنقّل
معامل الاختلاف
8.97 ÷ 31 = 28.9%. سجّل الأطوال بالأمتار بدل السنتيمترات فينكمش s مئة مرة — ويبقى معامل الاختلاف 4.1%. وهذا ما يتيح مقارنة تنقّل بـ1.1% لحرارة الجسم.
كشف القيم الشاذة
السياج يعزل الـ53. والدرجة المعيارية لا: z = (53 − 31) ÷ 8.97 = 2.45. اعزل الـ53 جانباً فتصبح 4.41 — لقد نفخ الـs ذاتها التي حُوكم بها. هذا هو التقنيع.
ما تعلّمته
المدى فحص سريع. وs = 8.97 يستخدم كل قيمة ويدفع الثمن هشاشةً. والمدى الربيعي 11 متين. والملخص الخماسي يرسم مخطط الصندوق. ومعامل الاختلاف 28.9% بلا وحدة. والقيمة الشاذة قد تتخفّى داخل درجتها المعيارية.