الاحتمال الشرطي
حين نعلم شيئاً عن العالم، يتغير الاحتمال. الاحتمال الشرطي هو رياضيات عبارة «بافتراض أن...»
ما هو P(A | B)؟
حين نعلم أن B وقع، يتقلص عالمنا إلى النتائج داخل B. الاحتمال الشرطي لـA بفرض B هو نسبة ما تشغله A داخل B.
الصيغة
اقسم احتمال وقوع الحدثين معاً على احتمال الحدث الشرطي. يُشترط P(B) > 0.
قاعدة الضرب
اضرب طرفي التعريف للحصول على احتمال وقوع الحدثين معاً كحاصل ضرب احتمال شرطي ومهمّش.
الاستقلالية الإحصائية
A وB مستقلان حين لا يعطي معرفة B أي معلومة عن A. الاشتراط لا يُغيّر شيئاً.
المستقل ≠ المتنافي
- متنافيان: A ∩ B = ∅ — لا يقعان معاً
- مستقلان: وقوع أحدهما لا يُخبر عن الآخر
- إذا كانا متنافيين وP(A),P(B) > 0 فهما غير مستقلين
- معرفة وقوع A تُخبر أن B لم يقع
قانون الاحتمال الكلي
قسّم Ω إلى حالات متنافية وشاملة B₁…Bₙ. يكون P(A) متوسطاً موزوناً للاحتمالات الشرطية.
نظرية بايز
تحوّل الإمكانية P(B|A) إلى لاحق P(A|B). مسبق × إمكانية ÷ دليل.
مخططات الأشجار
- كل فرع = حدث واحد، مُعنون باحتماله
- على المسار: اضرب الاحتمالات
- عبر المسارات: اجمع الاحتمالات
- الشجرة بأكملها تطبّق قاعدة الضرب في كل خطوة
الاحتمال الكلي تطبيقياً
مصنع أ: 60% من الإنتاج، 2% معيبة. مصنع ب: 40%، 5% معيبة. ما نسبة المعيب الإجمالية؟ نرمز بـ D للحادثة «القطعة معيبة».
P(A|B) ≠ P(B|A)
- P(+ | D) = الحساسية (عالية عادةً)، حيث D الإصابة بالمرض و+ نتيجة موجبة
- P(D | +) = احتمال المرض لمن نتيجته موجبة: تعتمد على انتشار المرض
- مغالطة المدّعي: P(E | I) ≠ P(I | E)، حيث E ظهور الدليل وI براءة المتهم
- نظرية بايز هي الطريقة الوحيدة الآمنة لعكس الاشتراط
ما تعلمناه
الاحتمال الشرطي، قاعدة الضرب، الاستقلالية، قانون الاحتمال الكلي، نظرية بايز، مخططات الأشجار، ولماذا P(A|B) ≠ P(B|A) — محرك الاستدلال الإحصائي.