الاحتمال الشرطي

حين يُغيِّر السياق كلَّ شيء

تخيَّل أنك عُلِّمت أن شخصاً اختير عشوائياً أجرى اختبار مرض نادر وجاءت نتيجته إيجابية. ما احتمال إصابته فعلاً؟ الآن أضف معلومة واحدة: للاختبار نسبة إيجابية كاذبة تبلغ 5%، والمرض يُصيب شخصاً واحداً فقط من كل عشرة آلاف. فجأةً تتغيَّر الإجابة تغيُّراً جذرياً — فالأرجح أن النتيجة الإيجابية كاذبة لا حقيقية.

هذه هي الرؤية الجوهرية للاحتمال الشرطي: معرفة شيء ما عن العالم تُغيِّر احتمال كل شيء آخر. وهو التعبير الرياضي الدقيق لعبارة «بافتراض أن…» ويقف في صميم نظرية بايز وقانون الاحتمال الكلي وشريحة واسعة من الاستدلال الإحصائي.

تعريف P(A | B)

الاحتمال الشرطي للحدث A بشرط الحدث B هو احتمال وقوع A وB معاً مقسوماً على احتمال وقوع B. حدسياً، معرفة أن B وقع تقصر اهتمامنا على النتائج داخل B؛ وداخل ذلك العالم المقيَّد نتساءل عن النسبة التي تقع أيضاً في A.

لتوضيح ذلك: نردٌّ عادل بستة أوجه، A = {6} وB = {4, 5, 6}. دون شرط P(A) = 1/6. لكن بمعرفة B فالنتيجة في {4, 5, 6} وواحدة منها فقط هي 6، إذن P(A|B) = 1/3. هذا ما تعطيه الصيغة: (1/6)/(1/2) = 1/3.

توضِّح الصيغة أيضاً أن التشريط على B يعادل إعادة تطبيع الاحتمالات بحيث يصبح B هو الحدث المؤكَّد الجديد، مع الحفاظ على النسب النسبية داخله.

قاعدة الضرب

بإعادة ترتيب تعريف الاحتمال الشرطي نحصل على قاعدة الضرب، وهي من أكثر المتطابقات استخداماً في الاحتمالات. تُتيح لنا حساب احتمال وقوع حدثين معاً بتحليله إلى سلسلة من الاحتمالات الأبسط.

تمتدّ القاعدة بصورة طبيعية إلى ثلاثة أحداث أو أكثر. احتمال وقوع A وB وC معاً يساوي P(A) · P(B|A) · P(C|A∩B). وهذه هي القاعدة المتسلسلة للاحتمال، وهي أساس النماذج الاحتمالية البيانية وشبكات بايز.

الاستقلالية الإحصائية

يُقال إن الحدثين A وB مستقلَّان إحصائياً إذا كانت معرفة وقوع B لا تُغيِّر احتمال A. بصورة رسمية، A وB مستقلان إذا وفقط إذا كان P(A|B) = P(A). وبالتعويض في قاعدة الضرب يُستخلص شرط مكافئ أيسر في التحقق.

الاستقلالية افتراض قوي. في مثال الإناء أعلاه، كانت السحبتان تابعتَين لأن إزالة كرة غيَّرت التركيبة للسحبة الثانية. بالسحب مع الإرجاع تصبحان مستقلتين. في البيانات الحقيقية، نادراً ما تكون الاستقلالية مضمونة وينبغي التحقق منها أو افتراضها بعناية.

انتبه إلى الفرق بين التعارض المتبادل والاستقلالية. الأحداث المتعارضة (A∩B = ∅) لا يمكن أن تقع معاً، فمعرفة A تعني أن B لم يقع حتماً — وهي أقصى درجات التبعية. أما الأحداث المستقلة فيمكن أن تقع معاً، لكن وقوع أحدهما لا يُخبر عن الآخر.

قانون الاحتمال الكلي

افترض أن فضاء العيِّنة Ω يمكن تقسيمه إلى أحداث متعارضة وشاملة B₁, B₂, …, Bₙ (لا تتقاطع وتغطي كل شيء معاً). حينئذٍ يمكن حساب احتمال أي حدث A بالمتوسط الموزَّن عبر كل الأجزاء، مع إعطاء كل جزء وزناً يعادل احتماله.

هذا القانون لا غنى عنه لحساب P(A) حين يكون احتمال A سهل الحساب في كل مجموعة فرعية على حدة لكن ليس في المجموع. وهو أيضاً المقام في نظرية بايز.

نظرية بايز

نظرية بايز تجيب عن سؤال جوهري: بعد أن رصدنا الدليل B، كيف نُحدِّث اعتقادنا في الفرضية A؟ تعكس اتجاه التشريط — بدلاً من P(B|A) (احتمال الدليل بفرض صحة الفرضية)، تعطينا P(A|B) (احتمال الفرضية بمعلومية الدليل).

يجمع الجمعُ بين نظرية بايز وقانون الاحتمال الكلي الصيغةَ الأشمل. إذا كان {A, Aᶜ} يقسِّم Ω، فإن P(B) = P(B|A)·P(A) + P(B|Aᶜ)·P(Aᶜ)، وبالتعويض تصبح الصيغة قابلة للحساب الكامل من كميات نعرفها عادةً.

لغة الاستدلال البايزي — قبلي، احتمال الدليل، بعدي — محورية في مدرسة كاملة من مدارس الاستدلال الإحصائي. في الوقت الحالي، افهم نظرية بايز بوصفها صيغة دقيقة لتحديث الاحتمالات في ضوء أدلة جديدة.

المخططات الشجرية

المخطط الشجري أداة بصرية لتنظيم حسابات الاحتمال الشرطي. كل فرع يمثِّل حدثاً مُعلَّقاً عليه احتماله؛ وتُحسَب احتمالية أي مسار في الشجرة بضرب احتمالات الفروع على طوله (قاعدة الضرب في العمل).

لاستخدام المخطط الشجري: (1) حدِّد الأحداث في المستوى الأول وضعها على الفروع الأولى؛ (2) لكل نتيجة في المستوى الأول، حدِّد الأحداث الشرطية في المستوى الثاني وارسم فروعها؛ (3) اضرب على كل مسار للحصول على الاحتمالات المشتركة؛ (4) اجمع المسارات المنتهية بالنتيجة ذاتها للحصول على الاحتمالات الهامشية.

P(A|B) ≠ P(B|A): خطأ فادح

من أشيع الأخطاء وأشدِّها تكلفةً في الاستدلال الاحتمالي الخلطُ بين P(A|B) وP(B|A). قد يكون الفرق بينهما هائلاً، ويُفضي الخلط إلى استنتاجات خاطئة في الطب والقانون والعلوم.

في الطب: نرمز بـ D للحادثة «الشخص مصاب بالمرض»، وبـ + للحادثة «نتيجة الاختبار إيجابية». فـ P(+ | D) هي حساسية الاختبار — غالباً عالية في الاختبارات الجيدة. لكن P(D | +) هي القيمة التنبؤية الإيجابية، وتعتمد اعتماداً حاسماً على انتشار المرض. لمرض نادر، حتى اختبار عالي الحساسية سيُنتج معظم نتائجه الإيجابية كاذبةً.

في القانون: نرمز بـ E للحادثة «ظهور الدليل»، وبـ I للحادثة «المتهم بريء». مغالطة المدعي العام تخلط P(E | I) — احتمال ظهور الدليل عند البريء — مع P(I | E) — احتمال البراءة بمعلومية الدليل. تطابق DNA يحدث مرة من المليون في البريئين لا يساوي احتمال براءة بمليون إلى واحد — إذ يهم الاحتمال القبلي للذنب الذي تحدِّده سائر الأدلة تحديداً هائلاً.

تجميع الأفكار

الاحتمال الشرطي هو الآلية التي تُغيِّر بها المعلومات الاعتقاد. التعريف P(A|B) = P(A∩B)/P(B) يقيِّد فضاء العيِّنة إلى B ويُعيد تطبيعه. قاعدة الضرب تُحلِّل الاحتمالات المشتركة إلى سلاسل شرطية. الاستقلالية تعني أن التشريط لا يحمل معلومة. قانون الاحتمال الكلي يتوسَّط عبر تقسيم للفضاء. ونظرية بايز تعكس اتجاه التشريط لتحويل احتمالات الدليل إلى احتمالات بعدية.

في الدرس القادم سنُطبِّق هذه الأدوات على مسائل من العالم الحقيقي — الاختبارات الطبية وترشيح البريد المزعج واتخاذ القرار في ظل الغموض — لنرى مدى قوة الاستدلال البايزي وما ينطوي عليه من نتائج غير متوقعة.