المتغيرات العشوائية
الجسر بين الاحتمال والأعداد. كل نموذج إحصائي يتحدث بلغة المتغيرات العشوائية.
ليس متغيراً. بل دالة.
المتغير العشوائي X يُعيّن لكل نتيجة ω في فضاء العينة عدداً حقيقياً. العشوائية تنبع من التجربة، لا من X نفسه.
متقطع مقابل مستمر
قيم عدّة أو منتهية
متصل غير عدّ
دالة كتلة الاحتمال
p(x) = P(X = x). كم من كتلة الاحتمال تجلس عند كل نقطة؟
دالة كثافة الاحتمال
الاحتمال = المساحة تحت f(x). القيمة f(x) نفسها كثافة لا احتمال — يمكن أن تتجاوز 1.
دالة التوزيع التراكمي
F(x) = P(X ≤ x). تتراكم الاحتمال حتى x. تتراوح دائماً بين 0 و1 ولا تتناقص أبداً.
القيمة المتوقعة
E[X] هو المتوسط المرجح باحتمالات — نقطة توازن التوزيع. لا يلزم أن تكون قيمة يمكن الوصول إليها.
خطية التوقع
- E[aX + b] = a·E[X] + b
- E[X + Y] = E[X] + E[Y] دائماً — حتى عند الترابط
- لا تحتاج لافتراضات استقلالية
- تُستخدم في كل حجة احتمالية تقريباً
التباين والانحراف المعياري
Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − μ². وحداته مربع الوحدات. الانحراف المعياري σ = √Var(X) يُعيد الوحدات الأصلية.
LOTUS: لا إعادة اشتقاق
E[g(X)] = ∑ g(x) p(x). طبّق g على كل قيمة من X وأوزن بـ P(X = x). التباين هو LOTUS مع g(x) = (x − μ)².
كل نموذج متغير عشوائي
- الانحدار: Y = f(X) + ε حيث ε متغير عشوائي
- اختبارات الفرضيات تستخدم إحصاءات كمتغيرات عشوائية
- يفصل النموذج عن التجربة المحددة
- مجموعة أدوات مشتركة لمسائل لا حصر لها
ما تعلمته
المتغيرات العشوائية، PMF، PDF، CDF، القيمة المتوقعة، خطية التوقع، التباين، الانحراف المعياري، وLOTUS — اللغة الأساسية للاحتمال.