STAT 101
M04 · L02
الوحدة 4 · الدرس 2
التوزيعات المتقطعة الشائعة
خمس عائلات. خمس قصص. كل منها تُشفِّر طريقة مختلفة لتوليد بيانات تجارب العدّ.
01 / 13
STAT 101
M04 · L02
لماذا التوزيعات المسمّاة؟
كل توزيع يروي قصة
تعرّف على القصة وراء بياناتك وستعرف فوراً النموذج والمتوسط والتباين وكيفية حساب أي احتمال.
القصص الخمس
برنولي ← ثنائي ← بواسون
هندسي ← ثنائي سالب
هندسي ← ثنائي سالب
02 / 13
STAT 101
M04 · L02
ذرة بناء كل التوزيعات المتقطعة
برنولي: تجربة واحدة
X = 1 (نجاح) باحتمال p، وX = 0 (فشل) باحتمال 1 − p.
المتوسط
E[X] = p
التباين
p(1 − p)
03 / 13
STAT 101
M04 · L02
n تجربة برنولي مستقلة
الثنائي: عدد النجاحات
كرّر تجربة برنولي n مرة. عدّ إجمالي النجاحات. أهم توزيع متقطع في الإحصاء.
PMF
P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
04 / 13
STAT 101
M04 · L02
خصائص الثنائي
الثنائي: المتوسط والتباين
المتوسط
E[X] = np
التباين
np(1−p)
مثال
200 بريد، p = 0.30
E[مشتريات] = 60، σ ≈ 6.5
E[مشتريات] = 60، σ ≈ 6.5
05 / 13
STAT 101
M04 · L02
أحداث نادرة مستقلة في فترة ثابتة
بواسون: الأحداث النادرة
مكالمات في الساعة. حوادث شهرياً. طفرات جينية. معامل واحد λ يتحكم في كل شيء.
- الأحداث تقع باستقلالية
- معدل ثابت λ عبر الفترة
- لا يمكن حدوثان في آن واحد
06 / 13
STAT 101
M04 · L02
خاصية فريدة
بواسون: المتوسط = التباين
PMF
P(X=k)=\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}
المتوسط
E[X] = λ
التباين
Var(X) = λ
07 / 13
STAT 101
M04 · L02
كم تجربة حتى النجاح؟
الهندسي: أول نجاح
X = عدد التجارب حتى أول نجاح. التوزيع المتقطع الوحيد الذي يفقد الذاكرة.
المتوسط
E[X] = 1/p
التباين
(1−p)/p²
08 / 13
STAT 101
M04 · L02
تعميم الهندسي
الثنائي السالب: النجاح الـ r
X = التجارب حتى النجاح الـ r. مجموع r متغير هندسي(p) مستقل.
المتوسط
E[X] = r/p
التباين
r(1−p)/p²
09 / 13
STAT 101
M04 · L02
اختر النموذج الصحيح
اختيار التوزيع المناسب
- تجربة ثنائية واحدة ← برنولي
- n ثابت، عدّ النجاحات ← ثنائي
- أحداث نادرة في فترة ← بواسون
- تجارب حتى أول نجاح ← هندسي
- تجارب حتى النجاح الـ r ← ثنائي سالب
10 / 13
STAT 101
M04 · L02
فحص تشخيصي سريع
المتوسط مقابل التباين
- متوسط ≈ تباين ⇒ بواسون
- تباين ≫ متوسط ⇒ ثنائي سالب
- n ثابت + عدّ ⇒ ثنائي
- وقت انتظار ⇒ هندسي / ثنائي سالب
11 / 13
STAT 101
ملخص
مراجعة
ما تعلّمته
برنولي، ثنائي، بواسون، هندسي، ثنائي سالب — خمسة توزيعات، خمس قصص. كل منها تشرح كيف تعمل تجارب العدّ.
التالي
13 / 13