STAT 101
M04 · L04
الوحدة 4 · الدرس 4

نظرية النهاية المركزية

أهم نظرية في الإحصاء. تُفسِّر لماذا المتوسطات دائماً طبيعية — بغض النظر عن شكل المجتمع.

01 / 13
STAT 101
M04 · L04
الإعداد

متوسطات العينات متغيرات عشوائية

اسحب n مشاهدة، احسب X̄. كرر — ستحصل على X̄ مختلف. توزيع كل قيم X̄ الممكنة هو توزيع أخذ العينات.

E[X̄]
μ (دائماً)
Var(X̄)
σ² / n
02 / 13
STAT 101
M04 · L04
الصياغة الرسمية

CLT: التقارب نحو الطبيعي

لمتغيرات عشوائية i.i.d. بمتوسط μ وتباين منتهٍ σ²، مع n → ∞:

نظرية النهاية المركزية
Z_n = \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)
03 / 13
STAT 101
M04 · L04
أي مجتمع، نفس النتيجة

ثلاثة مجتمعات، شكل واحد

  • Uniform[0,1]: جرسي بالفعل عند n = 5
  • Exponential(1): طبيعي تقريباً عند n = 30
  • Bernoulli(0.3): طبيعي عند n = 30
النمط
المجتمعات المنحرفة تتقارب أبطأ من المتماثلة
تفاعلي: اختر مجتمعاً وارفع حجم العينة وراقب المتوسطات تصير طبيعية — مُولَّد بالذكاء الاصطناعي، بالإنجليزية
04 / 13
STAT 101
M04 · L04
السؤال العملي

كم تكون العينة كافية؟

  • مجتمع متماثل: n = 5–10 يكفي
  • انحراف معتدل: القاعدة n ≥ 30
  • انحراف شديد / ذيول ثقيلة: n = 100+
  • النسب: np ≥ 10 و n(1−p) ≥ 10
05 / 13
STAT 101
M04 · L04
انتشار توزيع أخذ العينات

الخطأ المعياري

بكم تتفاوت متوسطات العينات من عينة إلى أخرى؟

الخطأ المعياري
\text{SE}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}
قانون الجذر التربيعي
لتخفيض SE إلى النصف: ضاعف n أربع مرات
06 / 13
STAT 101
M04 · L04
الصورة العملية

X̄ طبيعي تقريباً

لـ n كبيرة، نكتب:

التوزيع التقريبي
\bar{X} \doteq N\!\left(\mu,\,\tfrac{\sigma^2}{n}\right)

هذا يبرر استخدام درجات Z والجداول الطبيعية لمتوسطات العينات.

07 / 13
STAT 101
M04 · L04
حالة خاصة جوهرية

CLT للنسب

p̂ مجرد متوسط عينة من متغيرات 0/1 — نظرية CLT تنطبق مباشرة:

CLT للنسب
\dfrac{\hat{p}-p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \xrightarrow{d} N(0,1)
08 / 13
STAT 101
M04 · L04
CLT يُشغِّل كل الاستدلال

التطبيقات الحقيقية

  • فترات الثقة: X̄ ± 1.96 × SE
  • اختبارات Z وt للمتوسطات
  • اختبارات A/B واستطلاعات الرأي
  • ضبط الجودة: نسبة المعيب
  • استدلال معاملات الانحدار
09 / 13
STAT 101
M04 · L04
لماذا منحنى الجرس كوني

الطبيعي عامل جذب

  • الأطوال = مجموع تأثيرات وراثية وبيئية
  • خطأ القياس = مجموع اضطرابات صغيرة كثيرة
  • التشويش الإلكتروني = أحداث دقيقة غير مترابطة
السبب
CLT: مجاميع تأثيرات مستقلة → طبيعي
10 / 13
STAT 101
M04 · L04
ما لا تقوله النظرية

أخطاء شائعة

  • البيانات الخام لا تصبح طبيعية — فقط المتوسطات تتقارب
  • تفشل CLT للتوزيعات ذات التباين اللانهائي (مثل Cauchy)
  • «n ≥ 30» ضابط إرشادي، ليس قانوناً — تحقق من الانحراف
  • n كبيرة لا تُصلح العينات المتحيزة
11 / 13
STAT 101
اختبار سريع

تحقّق ممّا ثبت

أربعة أسئلة من هذا الدرس. أجب لترى السبب — يظهر الشرح سواء أصبتَ أم أخطأت. ولا شيء يُسجَّل أو يُحفَظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

12 / 13
STAT 101
ملخص
مراجعة

ما تعلمته

نظرية CLT: متوسطات العينات تتقارب نحو الطبيعي لأي مجتمع بتباين منتهٍ. الخطأ المعياري = σ/√n. CLT هو أساس كل الاستدلال الكلاسيكي.

اكتملت الوحدة 4
التالي: الوحدة 5 — التقدير ←
الدرس التالي كل الدروس اقرأ المقالة
13 / 13