STAT 101
M05 · L01
الوحدة 5 · الدرس 1

التقدير النقطي

نشاهد البيانات. نريد معرفة المعامل الكامن. التقدير النقطي يعطينا أفضل تخمين واحد — والأدوات لمعرفة مدى جودة هذا التخمين.

01 / 13
STAT 101
M05 · L01
دقة في اللغة

المقدِّر مقابل التقدير

المقدِّر
g(X₁,…,Xₙ)
متغير عشوائي
التقدير
g(x₁,…,xₙ)
عدد محدد

الحروف الكبيرة = متغير عشوائي. الحروف الصغيرة = قيمة مشاهدة. خصائص كالتحيز والتباين تنتمي للـمقدِّر، لا لأي تقدير بعينه.

02 / 13
STAT 101
M05 · L01
الخاصية المرغوبة #1

اللاتحيز

في المتوسط، عبر جميع العينات الممكنة، يصيب المقدِّر الهدف الحقيقي:

اللاتحيز
E[\hat{\theta}] = \theta
أمثلة
X̄ غير متحيز لـ μ.
S² بـ n−1 غير متحيز لـ σ².
03 / 13
STAT 101
M05 · L01
الخاصية المرغوبة #2

الاتساق

بيانات أكثر = أقرب إلى الحقيقة. رسمياً، θ̂ₙ يتقارب بالاحتمال نحو θ:

الاتساق
\lim_{n\to\infty} P(|\hat{\theta}_n - \theta| > \varepsilon) = 0
04 / 13
STAT 101
M05 · L01
الخاصية المرغوبة #3

الكفاءة وحد كراميه-راو

  • بين جميع المقدِّرات غير المتحيزة، نفضّل أصغر تباين
  • يضع حد كراميه-راو الحد الأدنى الممكن للتباين
  • المقدِّر الذي يبلغ الحد يسمى UMVUE
  • MLE كفء مقاربياً
05 / 13
STAT 101
M05 · L01
إطار التقدير #1

طريقة العزوم

اضبط عزوم العينة مساوية لعزوم المجتمع، ثم حل:

طريقة العزوم
E[X^k] = \tfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k
مثال: الطبيعي
μ̂ = X̄, σ̂² = (1/n)Σ(Xᵢ−X̄)²
06 / 13
STAT 101
M05 · L01
إطار التقدير #2

الإمكانية العظمى

اختر θ لجعل البيانات المشاهدة أكثر احتمالاً:

دالة الإمكانية
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i;\,\theta)

عملياً، عظّم لوغاريتم الإمكانية ℓ(θ) = Σ log f(xᵢ; θ).

07 / 13
STAT 101
M05 · L01
حل MLE

معادلة الدرجة

اشتق لوغاريتم الإمكانية، واضبطه مساوياً للصفر:

معادلة الدرجة
\dfrac{\partial\,\ell(\theta)}{\partial\theta} = 0 \implies \hat{\theta}_{\mathrm{MLE}}
لماذا اللوغاريتم؟
الضرب → جمع. مستقر عددياً. نفس نقطة التعظيم.
08 / 13
STAT 101
M05 · L01
MLE تطبيقياً

MLE للتوزيع الطبيعي

  • التعظيم بالنسبة لـ μ → μ̂ = X̄ (متوسط العينة)
  • التعظيم بالنسبة لـ σ² → σ̂² = (1/n)Σ(Xᵢ−X̄)²
  • σ̂² تستخدم n (متحيز قليلاً) بعكس S² بـ n−1 (غير متحيز)
  • لـ n كبيرة، الفرق ضئيل
09 / 13
STAT 101
M05 · L01
نتائج MLE إضافية

برنولي وبواسون

  • Bernoulli(p): p̂ = X̄ = k/n (نسبة العينة)
  • Poisson(λ): λ̂ = X̄ (متوسط العينة)
  • كلاهما يوافق طريقة العزوم — ليس دائماً هكذا
  • الثبات: إذا كان θ̂ هو MLE لـ θ، فـ g(θ̂) هو MLE لـ g(θ)
10 / 13
STAT 101
M05 · L01
التوتر الجوهري

مقايضة التحيز والتباين

تحليل MSE
\mathrm{MSE}(\hat{\theta}) = \mathrm{Var}(\hat{\theta}) + [\mathrm{Bias}(\hat{\theta})]^2
الفكرة الجوهرية
مقدِّر متحيز يمكنه التفوق على غير المتحيز إذا كان تبايناً أصغر بكثير. التحجيم يستغل هذا.
11 / 13
STAT 101
اختبار سريع

تحقّق ممّا ثبت

أربعة أسئلة من هذا الدرس. أجب لترى السبب — يظهر الشرح سواء أصبتَ أم أخطأت. ولا شيء يُسجَّل أو يُحفَظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

12 / 13
STAT 101
ملخص
مراجعة

ما تعلمته

  • المقدِّر (عشوائي) مقابل التقدير (عدد ثابت)
  • اللاتحيز، الاتساق، الكفاءة (حد كراميه-راو)
  • طريقة العزوم: طابق عزوم العينة والمجتمع
  • MLE: عظّم لوغاريتم الإمكانية — متسق وكفء مقاربياً
  • MSE = التباين + التحيز² — المقايضة الجوهرية
التالي
الدرس 2 — فترات الثقة ←
كل الدروس اقرأ المقالة
13 / 13