فترات الثقة

STAT 101

M05 · L02

الوحدة 5 · الدرس 2

التقدير النقطي يعطي تخميناً واحداً. فترة الثقة تعطي نطاقاً — وتُخبرك بمقدار الثقة فيه. نفس البيانات، قصة أغنى.

01 / 13

STAT 101

M05 · L02

الخطأ الأشيع

ما ليست عليه فترة الثقة

«احتمال أن يقع μ داخل هذه الفترة هو 95%.» خطأ. μ عدد ثابت — إما يقع فيها أو لا. لا يوجد احتمال.

التصريح الصحيح

95% من الفترات التي ينتجها هذا الإجراء ستحتوي μ. الإجراء — لا هذه الفترة بعينها.

02 / 13

STAT 101

M05 · L02

ما تعنيه الثقة حقاً

إجراء لا احتمال

كرّر التجربة 100 مرة
احسب فترة ثقة 95% في كل مرة
نحو 95 فترة من تلك تحتوي μ الحقيقي
الخمس الأخرى تخطئ — لا نعلم أيها
«واثق» = الأسلوب ينجح 95% من الوقت

03 / 13

STAT 101

M05 · L02

حين σ معلومة

فترة z

فترة z للمتوسط

\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

90%

z = 1.645

95%

z = 1.960

99%

z = 2.576

04 / 13

STAT 101

M05 · L02

المحور الواقعي

توزيع t لستيودنت

استبدال σ بـ S → المحور لم يعد طبيعياً
يتبع t بـ n−1 درجة حرية
ذيول أثقل من الطبيعي: عدم يقين أكبر
مع n → ∞، يتقارب t_n−1 → N(0,1)
اشتقه جوست عام 1908 («ستيودنت»)

05 / 13

STAT 101

M05 · L02

حين σ مجهولة (دائماً)

فترة t

فترة t للمتوسط

\bar{x} \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\dfrac{s}{\sqrt{n}}

مثال

n=16, x̄=12.3, s=2.4
t₀.₀₂₅,₁₅ = 2.131
الفترة: (11.02, 13.58)

06 / 13

STAT 101

M05 · L02

متى تكون فترة t صالحة؟

تحقق من افتراضاتك

مجتمع طبيعي: دقيقة لأي n
n كبير (≥ 30): نظرية النهاية المركزية تجعلها صالحة تقريباً
مجتمعات منحرفة: يُنصح بـ n ≥ 50
القيم الشاذة: تحقق بمخطط الصندوق أولاً — t حساسة عند n صغيرة

07 / 13

STAT 101

M05 · L02

النتائج الفئوية

فترة ثقة نسبة

فترة والد لـ p

\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

مثال استطلاع

n=400, p̂=0.55
فترة 95%: 0.55 ± 0.049
= (0.501, 0.599)

08 / 13

STAT 101

M05 · L02

التحكم في عرض الفترة

أدوات التحكم الثلاث

بيانات أكثر: هامش الخطأ ينكمش بـ 1/√n — مضاعفة n أربع مرات يُنصّف E
ثقة أقل: z أو t أصغر — لكن معدل الخطأ أعلى
انتشار أقل (σ): أجهزة أدق، معايير اختيار أصرم

09 / 13

STAT 101

M05 · L02

خطط قبل أن تجمع

حجم العينة للمتوسط

حجم n المطلوب

n = \left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{\!2}

حدد هامش الخطأ المرغوب E، عوّض z_α/2 و σ، حل للـ n. دائماً اجمع للأعلى.

10 / 13

STAT 101

M05 · L02

التخطيط للنسب

حجم العينة للنسبة

حجم n المطلوب

n = \left(\dfrac{z_{\alpha/2}}{E}\right)^{\!2}\hat{p}(1-\hat{p})

لماذا 1000 في الاستطلاعات؟

p̂=0.5, E=0.03, ثقة 95%
n = (1.96/0.03)² × 0.25 ≈ 1068

11 / 13

STAT 101

اختبار سريع

تحقّق ممّا ثبت

أربعة أسئلة من هذا الدرس. أجب لترى السبب — يظهر الشرح سواء أصبتَ أم أخطأت. ولا شيء يُسجَّل أو يُحفَظ.

السؤال 1 من 0

النتيجة 0/0

12 / 13

STAT 101

ملخص

مراجعة

ما تعلمته

الفترة = إجراء، لا تصريح احتمالي عن فترة واحدة
فترة z: x̄ ± z·σ/√n (نادرة؛ تحتاج σ معلومة)
فترة t: x̄ ± t·s/√n (الممارسة القياسية؛ ذيول أثقل)
فترة النسبة: p̂ ± z·√(p̂(1−p̂)/n)
العرض = 2E: يتحكم فيه n ومستوى الثقة و σ

كل الدروس اقرأ المقالة

13 / 13