استخدم مِنصّة القوة كآلةٍ حاسبة لفترة الثقة، وتوقَّع — قبل أن تقرأ من الشاشة — مُعامِل الـ95% z*، وهامش الخطأ z*·SE عند حجم عيّنة واحد، وكيف يتقلّص هذا الهامش حين تُضاعف n أربع مرّات، وكيف يتّسع حين يكون σ مجهولًا فتضطرّ لاستخدام t*.
فترة الثقة ليست إلّا x̄ ± margin، والهامش هو مُعامِل في خطأ معياري: m = z*·SE، حيث SE = σ/√n. وهذه المِنصّة تطبع كلا الجزأين أصلًا — فقيمتها الحرجة هي المُعامِل (z* حين يكون σ معلومًا، وt* حين يُقدَّر)، وسطرها SE = σ/√n هو الخطأ المعياري. فعرض الفترة إذًا ليس لغزًا: يتناقص مثل 1/√n — فلكي تُنصّفه عليك أن تضاعف n أربع مرّات — ويكبر حين تدفع ثمن t لأنّك لا تعرف σ. هذه التجربة عن ذلك العرض؛ أمّا التقدير النقطي والبوتستراب فهما درسا M5 الآخران.
افتح المِنصّة. تفتح على n = 25 والانحراف المعياري للمجتمع عند σ = 1. تُسمّي كل خطوة المؤشّر الوحيد الذي تُغيّره؛ واترك ما عداه عند هذه القيم. تطبع قراءة القيمة الحرجة وسطر SE = σ/√n الجزأين اللذين تضربهما.
Test statistic -> One-sample z Tails -> Two-tailed
Population SD -> 1 n -> 25 alpha -> 0.05
راقب قراءة القيمة الحرجة — فمع ذي الذيلين ومع معلوميّة σ تكون ±z* — وسطر SE = σ/√n في لوحة الاشتقاق. حاصل ضربهما هو هامش الخطأ.
أبقِ اختبار z لعيّنة واحدة (σ معلوم)، وذا الذيلين، وα = 0.05. مُعامِل الـ95% هو كمّيّة 0.975 من التوزيع الطبيعي المعياري، z* = Φ⁻¹(0.975). توقَّعه، ثم اقرأ قراءة القيمة الحرجة.
تُظهر القراءة ±1.960. وذلك الـ1.96 هو الرقم الكامن خلف كل فترة 95% رأيتها يومًا — ولا يعتمد على n ولا σ، بل على مستوى الثقة 95% فقط.
مع σ = 1 وn = 25، يكون الخطأ المعياري SE = σ/√n = 1/5 = 0.20. وهامش الخطأ هو m = z*·SE = 1.960 × 0.20. توقَّعه، ثم اقرأ سطر SE واضربه في z* الذي وجدتَه للتوّ.
الهامش هو 0.392، فالفترة 95% هي x̄ ± 0.392. وكل ما يخصّ عرضها موجود في هاتين القراءتين: مُعامِلٌ ثابت وخطأٌ معياري يحمل كل أثر n.
اسحب n من 25 إلى 100، مع ترك σ والاختبار وα كما هي. الآن SE = 1/√100 = 0.10. توقَّع الهامش الجديد z*·SE، ثم اقرأ سطر SE مرّةً أخرى.
يهبط الهامش إلى 0.196 — أي نصف 0.392 تمامًا. فمضاعفة n أربعًا (25 → 100) تُنصّف عرض الفترة، لأنّ SE ∝ 1/√n. مضاعفة الدقّة تُكلّف أربعة أضعاف البيانات.
أعِد n إلى 25 وبدّل الاختبار إلى t لعيّنة واحدة (σ مُقدَّر من العيّنة). يصير المُعامِل t*، وهو كمّيّة 0.975 من توزيع t عند n − 1 = 24 درجة حرّية. توقَّعه، ثم اقرأ قراءة القيمة الحرجة — واللوحة تطبع أيضًا ما ستكونه z.
المُعامِل هو ±2.064 — أوسع من 1.960. فجهلك بـσ وتقديره من 24 درجة حرّية يُكلّفك مُعامِلًا أسمن، فتكون الفترة الأمينة أوسع. وكلّما كبرت n، انكمش t* عائدًا نحو 1.960.
ما زلت على اختبار t عند n = 25 ومع SE = σ/√n = 0.20 نفسه. هامش فترة t هو m = t*·SE = 2.064 × 0.20. توقَّعه، ثم قارنه بهامش فترة z البالغ 0.392 من الخطوة الثانية.
هامش فترة t هو 0.413، مقابل 0.392 لفترة z — أوسع بنحو 5% عند البيانات نفسها، وهو محض ثمن تقدير σ. الخطأ المعياري نفسه، ومُعامِلٌ أوسع، وفترةٌ أوسع.
كل ما سبق ينتظرك في المِنصّة. اسحب n وراقب سطر SE = σ/√n — ومن ثمّ الهامش — يهبط مثل 1/√n؛ واسحب α من 0.05 نحو 0.01 وراقب المُعامِل يكبر إذ تشتري فترة 99% ثقةً أكبر بعرضٍ أكبر؛ وبدّل بين z وt لترى غرامة العيّنة الصغيرة تظهر ثم تتلاشى كلّما تسلّقت n.
- قرأتَ مُعامِل الـ95% من قراءة القيمة الحرجة: z* = 1.960
- ضربتَه في SE = σ/√n = 0.20 لتحصل على الهامش z*·SE = 0.392 عند n = 25
- رأيتَ مضاعفة n أربعًا (25 → 100) تُنصّف الهامش إلى 0.196 — قانون 1/√n
- بدّلتَ إلى σ المجهول وقرأتَ المُعامِل الأوسع t* = 2.064 عند 24 درجة حرّية
- وجدتَ هامش فترة t البالغ 0.413 — أوسع من 0.392 لفترة z، وهو ثمن تقدير σ