فترات الثقة | STAT-101

من التقدير النقطي إلى الفترة

يعطينا التقدير النقطي تخميناً واحداً أفضل للمعامل المجهول — لكنه لا يعطينا أي إحساس بمدى موثوقية هذا التخمين. هل يأتي من 10 مشاهدات أم 10,000؟ هل التوزيع الكامن قريب من الطبيعي أم شديد الانحراف؟ لا يستطيع التقدير النقطي وحده الإجابة عن هذه الأسئلة.

فترة الثقة (CI) تمدّ التقدير النقطي إلى نطاق من القيم المعقولة، معبّرةً عن عدم يقيننا حول المعامل. بدلاً من الإبلاغ عن “μ ≈ 4.7”، نقول “ثقتنا 95% في أن μ تقع بين 4.1 و5.3.” يُرمّز عرض الفترة معلومات حول حجم العينة والتباين ومستوى الثقة المختار.

يبني هذا الدرس فترات الثقة للحالات الثلاث الأهم: متوسط المجتمع حين يكون تباين المجتمع معلوماً (فترة z)، ومتوسط المجتمع حين يكون التباين مجهولاً (فترة t)، ونسبة مجتمع. نتناول أيضاً المفهوم الخاطئ الأشيع في الإحصاء — ماذا تعني «الثقة» فعلاً — ونُريك كيف تختار حجم العينة لتحقيق عرض فترة مرغوب.

ما ليست عليه فترة الثقة

قبل تعريف ما هي فترة الثقة، لنزيل التفسير الخاطئ الأكثر انتشاراً في الإحصاء. يعتقد كثير من الطلاب، بل وكثير من العلماء، أن فترة الثقة ذات 95% تعني: «احتمال أن يقع المعامل الحقيقي θ داخل هذه الفترة هو 95%.»

هذا خطأ. المعامل الحقيقي θ عدد ثابت (وإن كان مجهولاً) — ليس له توزيع احتمالي. بمجرد أن نحسب فترة من البيانات، هذه الفترة المحددة إما تحتوي θ أو لا تحتويه. لا يوجد احتمال.

التفسير الصحيح

فترة الثقة ذات 95% هي إجراء، لا تصريح عن فترة واحدة بعينها. إذا كررنا تجربتنا مرات عديدة وحسبنا فترة ثقة 95% في كل مرة، فإن نحو 95% من تلك الفترات ستحتوي المعامل الحقيقي.

عن أي فترة محسوبة بعينها، نقول إننا «واثقون بنسبة 95%» — أي أن الفترة نتجت بإجراء ينجح 95% من الوقت — لا أن ثمة احتمال 95% للمعامل أن يكون بداخلها.

فترة الثقة للمتوسط — σ معلومة (فترة z)

أبسط فترة ثقة تفترض أننا نعلم الانحراف المعياري للمجتمع σ (نادر في الممارسة، لكنه نقطة بداية مفيدة). وبموجب نظرية النهاية المركزية، متوسط العينة X̄ يتبع تقريباً التوزيع الطبيعي للعينات الكبيرة.

الإحصاء المعياري Z = (X̄ − μ) / (σ/√n) يتبع التوزيع الطبيعي القياسي. عكس هذا المحور يعطي فترة الثقة:

فترة ثقة z للمتوسط μ

\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

x̄ هو متوسط العينة، σ هو الانحراف المعياري المعلوم للمجتمع، n هو حجم العينة، وz_{α/2} هو القيمة الحرجة من التوزيع الطبيعي القياسي. لفترة 95%: z_{0.025} = 1.96.

الحد z_α/2 ⋅ σ/√n يُسمى هامش الخطأ (E). يقيس مدى بُعد المتوسط المتوقع لعينتنا عن المتوسط الحقيقي. العينات الأكبر تنتج فترات أضيق؛ مستويات الثقة الأعلى تتطلب z_α/2 أكبر وبالتالي فترات أوسع.

القيم الحرجة الشائعة

فترة 90%: α = 0.10، z_α/2 = z_0.05 = 1.645

فترة 95%: α = 0.05، z_α/2 = z_0.025 = 1.960

فترة 99%: α = 0.01، z_α/2 = z_0.005 = 2.576

توزيع t ودرجات الحرية

في الممارسة العملية، نادراً ما نعلم σ. حين نستبدل σ بالانحراف المعياري للعينة S، لم يعد الإحصاء المعياري يتبع التوزيع الطبيعي القياسي — بل يتبع توزيع t بـ n − 1 درجة حرية:

إحصاء t

t = \dfrac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}

حين يُستبدل σ بالانحراف المعياري للعينة S، يتبع المحور توزيع t بـ ν = n − 1 درجة حرية، لا التوزيع الطبيعي القياسي.

يشبه توزيع t التوزيع الطبيعي القياسي لكن ذيوله أثقل، مما يعكس عدم اليقين الإضافي الناتج عن تقدير σ. مع n → ∞، يتقارب توزيع t نحو التوزيع الطبيعي القياسي. معامل «درجات الحرية» ν = n − 1 يعدّ عدد القطع المستقلة من المعلومات المستخدمة لتقدير σ (نفقد واحدة لأن المتوسط يُقدَّر أولاً).

اشتقّ توزيع t وليام جوست عام 1908، نشره تحت اسم مستعار «ستيودنت» لأن صاحب عمله (مصنع جينيس للجعة) كان يشترط السرية. ومن هنا جاء اسم توزيع t لستيودنت. كانت مساهمته إدراكَه أن الاستدلال على عينات صغيرة يستلزم توزيعاً مختلفاً جوهرياً عن الطبيعي.

فترة الثقة للمتوسط — σ مجهولة (فترة t)

باستبدال S بـ σ والقيم الحرجة من توزيع t بقيم z، تصبح فترة الثقة للمتوسط μ حين تكون σ مجهولة:

فترة ثقة t للمتوسط μ

\bar{x} \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\dfrac{s}{\sqrt{n}}

s هو الانحراف المعياري للعينة، t_{α/2, n−1} هو القيمة الحرجة من توزيع t بـ n−1 درجة حرية. صالح حين يكون المجتمع طبيعياً تقريباً أو حين يكون n كبيراً كفاية بموجب نظرية النهاية المركزية.

هذه هي فترة t، وهي الأكثر استخداماً في الممارسة. لأن t_{α/2, n−1} > z_α/2 لأي n منتهٍ، فإن فترة t دائماً أوسع من فترة z — مما يعكس عدم اليقين الإضافي من عدم معرفة σ.

مثال: لنفترض n = 16 مشاهدة من مجتمع طبيعي تعطي x̄ = 12.3 و s = 2.4. لفترة ثقة 95%، نحتاج t_{0.025, 15} = 2.131. الفترة هي: 12.3 ± 2.131 ⋅ 2.4/√16 = 12.3 ± 1.279 = (11.02, 13.58).

متى تكون فترة t صالحة؟

المجتمع طبيعي: فترة t دقيقة لأي حجم عينة n.

عينة كبيرة (n ≥ 30): نظرية النهاية المركزية تجعلها صالحة تقريباً حتى للمجتمعات غير الطبيعية. للمجتمعات متوسطة الانحراف، يُنصح بـ n ≥ 50.

القيم الشاذة: فترة t حساسة للقيم الشاذة حين يكون n صغيراً. تحقق بمخطط الصندوق أو مخطط الاحتمال الطبيعي أولاً.

فترة الثقة للنسبة

حين يكون المعامل المعنيّ نسبة مجتمع p (مثلاً نسبة الناخبين المؤيدين لمرشح، أو معدل العيوب في التصنيع)، فالمقدِّر الطبيعي هو نسبة العينة p̂ = X/n، حيث X هو عدد «النجاحات» في n محاولة.

بموجب نظرية النهاية المركزية، p̂ تقريباً طبيعية للعينات الكبيرة، بمتوسط p وخطأ معياري √(p(1−p)/n). استبدال p بـ p̂ في الخطأ المعياري يعطي فترة ثقة والد للنسب:

فترة الثقة لنسبة

\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

p̂ = X/n هي نسبة العينة، n هو حجم العينة، z_{α/2} هو القيمة الحرجة من التوزيع الطبيعي القياسي. صالح حين np̂ ≥ 10 و n(1−p̂) ≥ 10.

مثال: في استطلاع من n = 400 ناخباً، قال X = 220 إنهم سيصوتون للمرشح أ. إذاً p̂ = 220/400 = 0.55. فترة ثقة 95% هي: 0.55 ± 1.96 ⋅ √(0.55 ⋅ 0.45 / 400) = 0.55 ± 0.0487 = (0.501, 0.599).

لفترة والد نقاط ضعف معروفة عند النسب الطرفية (p قريب من 0 أو 1) أو العينات الصغيرة. فترة ويلسون (تسمى أيضاً فترة الدرجة) تؤدي أداءً أفضل في هذه الحالات وتُفضَّل في الممارسة الحديثة.

تفسير مستويات الثقة

يختار المحلل مستوى الثقة قبل جمع البيانات. الاختيارات الثلاثة الأشيع هي 90% و95% و99%. ما الذي يعنيه اختيار 95% عملياً؟

فكّر في إجراء فترة الثقة كآلة. أطعمها بيانات من تجارب متكررة؛ تنتج فترات. لإجراء بنسبة 95%، 95 من كل 100 فترة تنتجها هذه الآلة ستحتوي المعامل الحقيقي. الخمس الأخرى تخطئ — نحن فقط لا نعلم أيها.

مستويات الثقة الأعلى تأتي بتكلفة: فترات أوسع. بديهياً، إذا أردت يقيناً أكبر بأنك قد التقطت القيمة الحقيقية، يجب أن توسّع نطاق بحثك. العلاقة حتمية: مضاعفة مستوى الثقة من 90% إلى 99% ترفع القيمة الحرجة من 1.645 إلى 2.576، موسّعةً الفترة بعامل نحو 1.57.

أدوات التحكم الثلاث في عرض الفترة

زيادة n: الخطأ المعياري ينكمش بمقدار 1/√n — مضاعفة n أربع مرات يُنصّف هامش الخطأ.

تخفيض مستوى الثقة: قيمة z أو t أصغر — لكنك تقبل معدل خطأ أعلى.

تخفيض σ (أو s): قياسات أدق أو مجتمع أكثر تجانساً تُقلص عرض الفترة. عادةً خارج سيطرتنا.

تحديد حجم العينة

قبل جمع البيانات، كثيراً ما نريد معرفة: ما الحجم الكافي للعينة لتحقيق هامش خطأ مرغوب E عند مستوى ثقة (1 − α)؟

لتقدير متوسط بـ σ معلومة، نساوي هامش الخطأ بـ E ونحل للـ n:

حجم العينة لمتوسط

n = \left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{\!2}

دائماً اجمع الكسور للأعلى للحصول على أقرب عدد صحيح. إن كان σ مجهولاً، استخدم تقديراً أولياً من دراسة استكشافية، أو حداً أعلى محافظاً.

لتقدير نسبة، نحتاج تقديراً أولياً p̂. في غياب معلومة مسبقة، استخدم p̂ = 0.5، مما يعظّم التباين p(1−p) ويعطي حجم العينة الأكثر محافظة (الأكبر):

حجم العينة لنسبة

n = \left(\dfrac{z_{\alpha/2}}{E}\right)^{\!2}\hat{p}(1-\hat{p})

بـ p̂ = 0.5 (أقصى تباين)، لـ E = 0.03 (3%) وثقة 95%: n = (1.96/0.03)² × 0.25 ≈ 1068. لهذا تستطلع الاستطلاعات الوطنية عادةً ~1000 شخص لهامش ±3%.

ملاحظة حول فترة t: لتخطيط حجم العينة بـ σ مجهولة، تستخدم الصيغة أعلاه z_α/2 كتقريب. لـ n صغير، تعتمد القيمة الحرجة من t على n نفسه (عبر درجات الحرية)، مما يستلزم حلاً تكرارياً. تتعامل البرمجيات مع هذا تلقائياً.

النقاط الرئيسية

ما هي فترة الثقة: إجراء ينتج فترات؛ 95% من فترات هذا الإجراء تحتوي المعامل الحقيقي. ليست احتمالاً بأن هذه الفترة المحددة تحتوي θ.
فترة z (σ معلومة): x̄ ± z_α/2 ⋅ σ/√n. تتطلب تباين مجتمع معلوماً؛ نادرة في الممارسة.
توزيع t: حين يُستبدل σ بـ S، يتبع المحور t_n−1 بذيول أثقل من الطبيعي، يتقارب نحو الطبيعي مع n → ∞.
فترة t (σ مجهولة): x̄ ± t_{α/2, n−1} ⋅ s/√n. الفترة القياسية في الممارسة؛ صالحة حين يكون المجتمع طبيعياً تقريباً أو n كبيراً.
فترة النسبة: p̂ ± z_α/2 ⋅ √(p̂(1−p̂)/n). صالحة حين np̂ ≥ 10 و n(1−p̂) ≥ 10.
مقايضة مستوى الثقة: ثقة أعلى ⇒ فترة أوسع. عرض الفترة ينكمش أيضاً مع √n؛ مضاعفة n أربع مرات يُنصّف هامش الخطأ.
تخطيط حجم العينة: اضبط E = z_α/2 ⋅ σ/√n وحل للـ n؛ للنسب استخدم p̂ = 0.5 كقيمة افتراضية محافظة.